大一高数D3_1中值定理课件.ppt

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1、第三章中值定理应用研究函数性质及曲线性态利用导数解决实际问题罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式(第三节)推广微分中值定理与导数的应用一、罗尔(Rolle)定理第一节二、拉格朗日(Lagrange)中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理第三章1.几何现象:如图若函数y=f(x)代表的曲线连续.除端点外处处有不垂直于x轴的切线.且两端点的纵坐标相等.则在曲线上至少存在一点C.在C点的切线平行于x轴.一、罗尔中值定理定理(Rolle)若函数f(x)满足（1）在闭区间[a,b]上连续（2）在开区间(a,b)内

2、可导（3）在区间端点处的函数值相等f(a)=f(b)证证费马(fermat)引理且存在通常称导数等于零的点为函数的驻点。例如,注①Rolle定理有三个条件：闭区间连续；开区间可导区间端点处的函数值相等；这三个条件只是充分条件，而非必要条件如：y=x2在[-1,2]上满足(1),(2)，不满足(3)却在(-1,2)内有一点x=0使但定理的条件又都是必须的，即为了保证结论成立三个条件缺一不可。例如,又例如,在[0,1]上除去x=0不连续外，满足罗尔定理的一切条件再例如在[0,1]上除去端点的函数值不相等外，满足罗尔定理的一切条件

3、②罗尔定理的结论是在开区间内至少有一使导数等0的点。有的函数这样的点可能不止一个；另外还要注意点ξ并未具体指出，即使对于给定的具体函数，点ξ也不一定能指出是哪一点，如在[-1，0]上满足罗尔定理的全部条件，而但却不易找到使但根据定理，这样的点是存在的。即便如此，我们将会看到，这丝毫不影响这一重要定理的应用③从方程的角度看,f'表示是方程f'x的根.因此,罗尔定理的意义是若fx满足定理条件,则方程f'x在(a,b)内至少有一个根.物理解释:变速直线运动在折返点处,瞬时速度等于零.二、拉格朗日中值

4、定理1.几何现象:如图aCC若函数y=f(x)代表的曲线连续.除端点外处处有不垂直于x轴的切线.则在曲线上至少存在一点C，使曲线在C点的切线平行于曲线两端点的连线AB.证分析:弦AB方程为作辅助函数拉格朗日中值公式注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.拉格朗日中值公式又称有限增量公式.拉格朗日中值定理又称有限增量定理.微分中值定理推论1推论2例2证例2证例3证由上式得三、柯西(Cauchy)中值定理四、小结Rolle定理Lagrange中值定理Cauchy中值定理罗尔定理、拉

5、格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；注意定理成立的条件；注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.作业P1321,10费马(1601–1665)法国数学家,他是一位律师,数学只是他的业余爱好.他兴趣广泛,博览群书并善于思考,在数学上有许多重大贡献.他特别爱好数论,他提出的费马大定理:至今尚未得到普遍的证明.他还是微积分学的先驱,费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中提炼出来的.拉格朗日(1736–1813)法国数学家.他在方程论,解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献,近百余年来,数学中的许多成就都直接或间接地溯源

6、于他的工作,他是对分析数学产生全面影响的数学家之一.柯西(1789–1857)法国数学家,他对数学的贡献主要集中在微积分学,《柯西全集》共有27卷.其中最重要的的是为巴黎综合学校编写的《分析教程》,《无穷小分析概论》,《微积分在几何上的应用》等,有思想有创建,响广泛而深远.对数学的影他是经典分析的奠人之一,他为微积分所奠定的基础推动了分析的发展.复变函数和微分方程方面.一生发表论文800余篇,著书7本,