d3_1微分中值定理

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1、高等数学A讲义第一节第三章第三章微分中值定理微分中值定理与导数的应用一、罗尔(Rolle)定理罗尔中值定理推广中值定理拉格朗日中值定理泰勒公式(第二节)二、拉格朗日(Lagrange)中值定理柯西中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理研究函数性质及曲线性态应用利用导数解决实际问题一、罗尔(Rolle)定理罗尔（Rolle）定理y费马(Fermat)引理yf(x)满足:yf(x)yf(x)在U(x0)有定义,(1)在区间[a,b]上连续f(x0)0且f(x)f(x0,)f(x0)存在(2)在区间(a,b)内可导Oabx(或)极值

2、点(导数存在)驻点(3)f(a)=f(b)证:设x0xU(x0,)f(x0x)f(x0,)在(a,b)内至少存在一点,使f().0f(x0x)f(x0)y则f(x0)lim证:因f(x)在[a,b]上连续，故在[a,b]上取得最大值x0xf(x)0(x0)Ox0xM和最小值m.0f(x0)0若M=m,则f(x)M,x[a,b,]f(x)0(x0)0证毕因此(a,b,)f().0若M>m,则M和m中至少有一个与端点值不等,2)定理条件只是充分的.本定理可推广为不妨设

3、Mf(a,)则至少存在一点(a,b,)使yf(x)在(a,b)内可导,且f()M,则由费马引理得f().0yyf(x)limf(x)limf(x)注意:xaxb1)定理条件不全具备,结论不一定成立.Oabx在(a,b)内至少存在一点,使f().0例如,f(a,)xax,0x1f(x)xf(x)x证明提示:设F(x)f(x,)axbf(x),0x1x[]1,1x]1,0[yyyf(b,)xb证F(x)在[a,b]上满足罗尔定理.O1x1O1xO1x3)罗尔定理常用来判别

4、f(x)的零点。在]1,0[不连续在()1,1不可导f)0(f)1(任课教师：王琪1高等数学A讲义5例设和f(x)g(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，例证明方程x5x10有且仅有一个小于1的正实根证:1)存在性.且f(a)f(b),0(09-10,六(2))5设f(x)x5x,1则f(x)在[0,1]连续,且证明：存在(a,b),使得f()f()g()0f)0(,1f)1(.3由介值定理知存在x0,)1,0(使g(x)证:令F(x)f(x)ef(x0),0即方程有小于1的正根x0.由

5、题F(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，2)唯一性.假设另有x1,)1,0(x1x0,使f(x1),0f(x)在以且F(a)F(b)0x0,x1为端点的区间满足罗尔定理条件,在x0,x1之间则由Rolle中值定理知g()g()至少存在一点,使f().0存在(a,b),使得F()0f()ef()eg()4但f(x)(5x)1,0x1,0(),矛盾,故假设不真!即f()f()g()0例设f(x)在]1,0[上连续,在)1,0(内可导,且例设f(x)在]1,0[连续，)

6、1,0(可导，且f)1(,0f)1(,0证明至少存在一点,)1,0(使(06-07,十一)求证存在,)1,0(使nf()f().02f()nf()证:设辅助函数(x)xf(x)证:问题转化为证f()2f().0显然(x)在]1,0[上满足罗尔定理条件,设辅助函数()2()xxfx因此至少存在,)1,0(使得显然(x)在[0,1]上满足罗尔定理条件,故至()nn1f()nf()0少存在一点,)1,0(使()2f()2f()0即nf()

7、f()02f()即有f()例设函数f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,2),,0(),使得f()[f()].1且f)0(f)1(,0f(1),1试证：2证:2)令1(09-10,四)G(x)exF(x)ex(f(x)x),1)存在1,,使得f();22),,0(),则G(x)在,0[]上连续,在,0()内可导,且使得f()[f()].1G)0(G(),0由罗尔定理，,0,使得G(),0证:

8、1)令F(x)f(x)x,则F(x)在[0,1]上连续,即又e(f())e(f())1F(1)f(1