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1、第六章数理统计的基本概念总体个体数理统计的基本概念样本正态总体下的四大分布样本函数统计量在数理统计中,常把被考察对象的某一个(或多个)指标的全总体体称为总体(或母体)。我们总是把总体看成一个具有分布的随机变量(或随机向量)。个体总体中的每一个单元称为样品(或个体)。我们把从总体中抽取的部分样品x,x,,x称为样本。样本12n中所含的样品数称为样本容量,一般用n表示。在一般情况下,总是把样本看成是n个相互独立的且与总体有相同分布的随机变量,这样的样本称为简单随机
2、样本。在泛指任一次抽取的结样本(1)数理果时,x,x,,x表示n个随机变量(样本);在具体的一次12n统计的基本概念抽取之后,x,x,,x表示n个具体的数值(样本值)。我们12n称之为样本的两重性。设x,x,,x为总体的一个样本,称12n样本函数和(x1,x2,,xn)统计量为样本函数,其中为一个连续函数。如果中不包含任何未知参数,则称(x,x,,x)为一个统计量。12nn1样本均值xxi.ni1样本方差1n22S(xx).in1i1n12样本标准差S(xi
3、x).n1i1样本k阶原点矩n1k常见统计量Mkxi,k1,2,.ni1及其性质样本k阶中心矩n1kMk(xix),k2,3,.ni12E(X),D(X),n222n12E(S),E(S*),nn212其中S*(XiX),为二阶中心矩。ni12设x,x,,x为来自正态总体N(,)的一个样本,则样12n本函数正态分布defxu~N(0,1)./n(2)正态2总体下的设x,x,,x为来自正态总体N(,)的一个样本,则样12n四大分
4、布本函数t分布defxt~t(n1),2Sn其中t(n-1)表示自由度为n-1的t分布。2设x,x,,x为来自正态总体N(,)的一个样本,则样12n本函数22分布def(n1)S2w~(n1),222其中(n1)表示自由度为n-1的分布。2设x,x,,x为来自正态总体N(,)的一个样本,而12n12y,y,,y为来自正态总体N(,)的一个样本,则样本12n2函数22defS/11F~F(n1,n1),2212S/22F分布其中1n11n22222S1
5、(xix),S2(yiy);n11i1n21i1F(n1,n1)表示第一自由度为n1,第二自由度为121n1的F分布。2(3)正态2X与S独立。总体下分布的性质第七章参数估计无偏性矩估计点估计估计量的评选标准有效性从样本推断总体极大似然估计一致性区间估计单正态总体的区间估计设总体X的分布中包含有未知数,,,,则其分布函数可以表成12mkF(x;,,,).它的k阶原点矩vE(X)(k
6、1,2,,m)中也12mk包含了未知参数,,,,即vv(,,,)。又设12mkk12mx,x,,x为总体X的n个样本值,其样本的k阶原点矩为12nn1kxi(k1,2,,m).ni1这样,我们按照“当参数等于其估计量时,总体矩等于相应的样本矩”的原则建立方程,即有1nv1(1,2,,m)xi,(1)点ni1矩估计估计1n2v2(1,2,,m)xi,ni11nv(,,,)
7、xm.m12mini1由上面的m个方程中,解出的m个未知参数(,,,)即为参数12m(,,,)的矩估计量。12m若为的矩估计,g(x)为连续函数,则g(ˆ)为g()的矩估计。当总体X为连续型随机变量时,设其分布密度为f(x;1,2,,m),其中1,2,,m为未知参数。又设x1,x2,,xn为总体的一个样本,称nL(1,2,,m)f(xi;1,2,,m)i1为样本的似然函数,简记为Ln.当总体X为离型随机变量时,设其分布律为
8、P{Xx}p(x;1,2,,m),则称n极大似L(x1,x2,,xn;1,2,,m)p(xi;1,2,,m)i1然估计为样本的似然函数。若似然函数L(x,x2,,x;,2,,)在1,2,,m处取1n1m到最大值,则称1,2,,m分别为1,2,,m的最大似然估计值,相应的统计量称为最大似然估计量。lnLn0,i1,2,,miii若为的极大似然估计,g(x)为单调函