极限值确定函数式中参数的求解方法.pdf

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1、第26卷第4期高师理科学刊Vol.26No.42006年11月JournalofScienceofTeachersCollegeandUniversityNov2006文章编号1007-9831200604-0065-04一类极限值确定函数式中的参数的求解方法倪仁兴绍兴文理学院数学系浙江绍兴312000摘要对于一类具有确定极限值的函数式中的参数求解给出了4种方法分离法有理化法泰勒公式法和渐近线法并举例说明其中的渐近线法是求解此类问题的一种较好方法它具有简单方便等特点关键词极限分离法有理化法泰勒公式法渐近线法中图分类号O172文献标识码A极限是微积分的理论基础研究

2、函数的性质实质上是通过研究各种类型的极限来达到的如连续导数定积分级数等等由此可见如何求函数的极限是重要的问题而求确定函数的极限值有众多的方法其中根据函数极限的定义来求极限值是最基本的方法反之若已知含有参数的函数式的极限值如何来确定函数式中的参数本文讨论就此进行讨论关于一类具确定极限值的极限式lim[]f()x-ax-b=0中参数ab的求解方法问题其中f(x)为一已x®¥知函数给出这类问题的4种解法即分离法有理化法泰勒公式法和渐近线法并举例说明渐近线法是求解此类问题的一种较好方法它具有简单方便等特点1分离法分离法是一般教材和教参用书中最常用的解法它较多地用于f(x

3、)为有理函数的情形其做法是对有理函数f(x)进行变量分离把它分离成一个整式和一个真分式之和然后再根据函数极限存在的条件来定出函数式中所含的参数x2+1[1-3]例1设lim(-ax-b)=0求常数a与bx®¥x+1x2+12x2+12解由-ax-b=+(1-a)x-(b-1)得lim(-ax-b)=lim[+(1-a)x-(b+1)]=0而此式成立的充x+1x+1x®¥x+1x®¥x+1x2+1要条件为1-a=0且b+1=0故当且仅当a=1且b=-1时lim(-ax-b)=0x®¥x+1由例1的解题过程可以看出把函数式进行分离的目的是便于利用极限的定义但分离的过

4、程有时是x10-x9+5x7+4x6+7很复杂的若有理函数f(x)的分子和分母的自变量的次数较高如lim(-ax-b)=0x®¥x9+8求常数a与b这时用分离法就显得较复杂2有理化法有理化法较多地用于f(x)为无理函数的情形对无理函数f(x)把f(x)-ax-b分子有理化再进行收稿日期2006-05-31基金项目国家自然科学基金资助项目10271025浙江省自然科学基金资助项目102002作者简介倪仁兴1964-男浙江绍兴人教授硕士主要从事非线性分析和非线性逼近的研究66高师理科学刊第26卷适当地化简然后根据函数极限存在的条件确定函数式中待求的参数[2-3]2例

5、2设lim(x-x+1-ax-b)=0求常数a与bx®-¥x2-x+1-(ax+b)2(1-a2)x2-(1+2ab)x+(1-b2)解当x<0时x2-x+1-ax-b==x2-x+1+(ax+b)x2-x+1+ax+b(1-a2)x-(1+2ab)+(1-b2)x-1=11-1-++a+bx-1xx2可得使lim(x2-x+1-ax-b)=0成立的充分必要条件为1-a2=0且1+2ab=0即a=±1且x®-¥111b=_而当a=1且b=-时原函数极限不存在故当且仅当a=-1且b=时有lim(x2-x+1-222x®-¥ax-b)=0[2-3]2例3设lim(x

6、-x+1-ax-b)=0求常数a与bx®+¥1解类似于例2的处理可得当且仅当a=1且b=-时有lim(x2-x+1-ax-b)=02x®+¥332由例2和例3的解题过程可以看出对某些无理函数式的极限如lim(x-9x+1-ax-b)=0此时x®¥要确定常数a与b用分子有理化法就显得较为复杂3泰勒公式法若函数f(x)可用泰勒公式表示这时求解这类具确定极限值函数式中的参数也可用泰勒公式法求解一般地在对f(x)用泰勒公式表示之前常需对f(x)作恒等变形以利于泰勒公式的表示(x-1)2[4]例4设lim[-ax-b]=0求常数a与bx®¥3(x+1)12x-2+(x-1

7、)1x解因lim[-ax-b]=lim[-3(ax+b)]x®¥3(x+1)3x®¥11+x1ì111ü=limí(x-2+)[1-+o()]-3(ax+b)ý3x®¥îxxxþ11=lim[(1-3a)x-(3+3b)+o()]=03x®¥x(x-1)2111有1-3a=0且3+3b=0即a=b=-1反过来当a=b=-1时明显有lim[-x+1]33x®¥3(x+1)34(x-1)21=lim()=0故当且仅当a=且b=-1时lim[-ax-b]=0x®¥3x+33x®¥3(x+1)[4]32x3-x-x+-ax-b=例5设lim(1)0求常数a与bx®¥13

8、32解类似于例4的处理可