田间试验与统计方法11_响应面设计.ppt

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1、11.1回归设计概述回归设计（也称为响应曲面设计），目的是寻找试验指标与各因子间的定量规律，考察的因子都是定量的。它是在多元线性回归的基础上用主动收集数据的方法获得具有较好性质的回归方程的一种试验设计方法。11.1.1多项式回归模型z,z,,z在一些试验中希望建立指标y与各定量因子12p（又称变量）间相关关系的定量表达式，即回归方程，以便通过该回归方程找出使指标满足要求的各因子的范围。z,z,,z可以假定y与12p间有如下关系：yf(z,z,,z)12pf(z,z,,z)z1,z2,,zp这里12p是的一个函数，常称为响应函数，其图形也称为响应曲面；2是随机误差，通常假

2、定它服从均值为0，方差为的正态分布。f(z,z,,z)在上述假定下，12可以p看作为在给定z,z,,z12p后指标的均值，即E(y)f(z,z,,z)12p(z,z,,z)称z12p的可能取值的空间为因子空间。我们的任务便是从因子空间中寻找一个点z0(z0,z0,,z0)使E(y)满足质量要12p求。当f的函数形式已知时，可以通过最优化的方法去寻找z0。在许多情况下f的形式并不知道，这时常常用一个多项式去逼近它，即假定：2y0jzjjjzjijzizj(7.1.1)jjij这里各,,,,为未知参数，也称为回归系数，通常需要通

3、0jjjij过收集到的数据对它们进行估计。若用b,b,b,b,表示相应的估计，则称0jjjij2yb0bjzjbjjzjbijzizjjjij为y关于z1,z2,,zp的多项式回归方程。在实际中常用的是如下的一次与二次回归方程（也称一阶与二阶模型）：yˆb0bjzjj2yˆbbzbzbzz0jjjjjijijjjijpd一般p个自变量的d次回归方程的系数个数为d11.1.2多元线性回归(14.1.1)是一个多项式回归模型，在对变量作了变换并重新命名后也可以看成是一个多元线性回归模型。1．回归模型设所收集到的n组数据为(x,

4、x,,x,y),i1,2,,ni1i2ipi假定回归模型为：yi01xi1pxipi，i1,2,,n2各iid~N(0,)iy1记随机变量的观察向量为y2Yyn01未知参数向量为p12不可观察的随机误差向量为1x11x1pn1x21x2p结构矩阵X1xxn1np那么上述模型可以表示为：YX2或Y~N(X,I)2nn~N(0,I)nn2．回归系数的最小二乘估计估计回归模型中回

5、归系数的方法是最小二乘法。记回归系数的最小二乘估计（LSE）为b(b,b,,b)，01p应满足如下正规方程组：XXbXY1当XX存在时，最小二乘估计为1bXXXY在求得了最小二乘估计后，可以写出回归方程：yˆbbxbx011pp今后称AXX为正规方程组的系数矩阵，BXY为正规方程组的常数项向量，CXX1为相关矩阵。在前述模型下，有21b~N(,(XX))1若记CXX(cij)，那么2b~N(,c),j0,1,2,,pjjjj在通常的回归分析中，由于C非对角阵，所以各回归系数间是相关的：2Cov(b,b

6、)cijij3．对回归方程的显著性检验对回归方程的显著性检验是指检验如下假设：0H0：12pH：,,,不全为0112p检验方法是作方差分析。记yˆib0b1xi1bpxip，i1,2,,n则有平方和分解式nnnS(yy)2(yyˆ)2(yˆy)2SSTiiiiERi1i1i1其中2SE(yiyˆi)fnp1i为残差平方和，自由度为E2SR(yˆiy)为回归平方和，自由度为fpR当H为真时，有0S/fRRF~F(f,f)F(p,np1)RES/fEE对于给定的显著性水平，拒绝域为FF1

7、(p,np1)。若记p+1维向量XYB(Bj)，那么n22SE(yiyˆi)yib0B0b1B1bpBpii12SR(yˆiy)STSE4．失拟检验当在某些点有重复试验数据的话，可以在检验回归方程显著性之前，先对y的期望是否是x1,x2,,xp的线性函数进行检验，这种检验称为失拟检验，它要检验如下假设：H：Eyxx0011ppH：Eyxx1011pp(x,x