考研数学一二微分中值定理(题)课件.ppt

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1、第四讲微分中值定理1°费马定理说明:可微函数在极值点处有水平切线设f(x)在x0点的某个邻域N(x0)内有定义,f(x0)是f(x)的一个极值,如果f(x)在x0处可导,则有拉格朗日中值定理双介质问题设函数在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，证明：在(a,b)内存在,使得．设f(x)在[a,b]开区间连续闭区间可导，且ab均大于0，证明：必存在ξ≠η∈(a，b)使得f'(ξ)=[f'(η)/2η]*(a+b)用两次拉格朗日中值定理先由拉格朗日中值定理得：f'(ξ)=[f(b)-f(a)]/(b-a),ξ∈(a,b)。又由柯西中值定理有：[f(b)-f(a)]/(b

2、^2-a^2)=f'(η)/2η,η∈(a,b)。即[f(b)-f(a)]/(b-a)=f'(ξ)=[f'(η)/2η](a+b),此即所证等式。,试证明:至少存在一点,使例1设f(x)在0,1上连续,在(0,1)内可导,f(0)=0,f(1)=1,解因f(x)在[a,b]上连续，由积分中值定理，存在[0,1]使由f(0)=0,f(1)=1知f(x)在(0,1)内取得f(x)在[0,1]的最大值，即存在ξ(0,1),使ξ为极大值点，据费马定理2°罗尔定理:设f(x)在a,b上连续,(a,b)内可导,则至少存在一点,使说明:2)罗尔定理涉及了方程根的问题

3、1)几何意义y0x例2若f(x)在0,1上连续,在(0,1)内可导,且f(1)=0,则在(0,1)内存在点ξ,使解取辅助函数，则F(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且F(0)=F(1)=0，根据罗尔定理，存在ξ(0,1),使证明:对任意的λ>0,存在,使例3若f(x)在0,1上连续,在(0,1)内可导,且f(1)=0,解取辅助函数,则F(x)在0,1上连续，在(0,1)内可导，且F(0)=F(1)=0，根据罗尔定理，存在ξ(0,1),使说明：辅助函数导数可以和原方程相差一非零因子例4设f(x)可导,λ为任意实数,则f(x)的任意两个零点之间

4、,必有的零点解设x1

5、定理，ξ(0,1)使即取辅助函数,则F(x)在0,1上连续,(0,1)内可导，且F(0)=F(1)=0，例7设函数f(x)在0,1上连续,(0,1)内可导,且,证明:在(0,1)内存在点ξ,使得(找等高点)解利用积分中值定理，存在使又f(x)在0,上连续,在(0,)内可导，据罗尔定理，存在ξ0,(0,1)使例8设函数f(x)在闭区间0,1上连续,(0,1)内可导,且,证明:在(0,1)内至少存在一点ξ,使得,其中0<<1.(找等高点)解原等式设，则F(0)=0又据零值定理，存在使F()=0对F(x)在[0,]上利用罗尔定理,存在

6、ξ(0,)(0,1)使例9证明:方程的根不超过三个解反证法.假设方程有四个实根设，则有在上分别利用罗尔定理在[x1,x4]上至少有三个零点在[x1,x4]上至少有两个零点在[x1,x4]上至少有一个零点现矛盾,证明:至少存在一点,使例10设f(x)在1,2上有二阶导数,且,又解因为由于F(x)在[1,2]上连续,(1,2)内可导，且据罗尔定理，存在(1,2)使在[1,]上,连续，可导，且利用罗尔定理，存在ξ(1,)(1,2)使3°拉格朗日柯西中值定理(1)拉格朗日中值定理设函数f(x)在a,b上连续,(a,b)内可导,则至少至少存在一点

7、ξ(a,b)使说明:1)上式可以写成:或者或者2)几何意义(2)柯西中值定理设函数f(x),g(x)在a,b上连续,(a,b)内可导,且则至少存在一点ξ(a,b)使说明:几何意义:AB弦的斜率切线的斜率(3)应用举例1)等式的证明证明:对于满足α+=1的正数α,,在(0,1)内存在设f(x)在0,1上可导,且f(0)=0,f(1)=1,例11相异两点ξ,η,使解利用拉格朗日中值定理得两式相加得且f(0)=0,f(1)=1,证明:已知f(x)在0,1上连续,在(0,1)内可导,例12(1)存在ξ(0,1),使(2)存在两个不同的点