高中数学必修五课件：1.1.2-2《余弦定理》（人教A版必修5）.ppt

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1、第2课时　余弦定理1．余弦定理：三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦的积的两倍．即若a、b、c分别是△ABC的顶点A、B、C所对的边长，则a2＝，b2＝，c2＝.b2＋c2－2bccosAa2＋c2－2accosBa2＋b2－2abcosC余弦定理揭示了三角形中两边及其夹角与对边之间的关系，它的另一种表达形式是须知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例．∠A为钝角⇔，∠A为直角⇔，∠A为锐角⇔.a2>b2＋c2a2＝b2＋c2a2

2、个等式中都包含四个不同的量，它们分别是三角形的三边和一个角，知道其中的三个量，代入等式，便可求出第四个量来．利用余弦定理可以解决以下两类解斜三角形的问题：(1)已知三边，求；(2)已知两边和它们的夹角，求．各角第三边和其他两个角1．在△ABC中，AB＝5，BC＝6，AC＝8，则△ABC的形状是()A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．非钝角三角形解析：因为AB2＋BC2－AC2＝52＋62－82<0，∴AC边所对角B为钝角，故选C.答案：C答案：B3．在△ABC中，已知b＝1，c＝3，A＝60°，则

3、a＝________.4．在△ABC中，若(a＋b)2＝c2＋ab，则角C等于________．解析：∵(a＋b)2＝c2＋ab，∴c2＝a2＋b2＋ab.又c2＝a2＋b2－2abcosC.∴a2＋b2＋ab＝a2＋b2－2abcosC.∴－2cosC＝1，∴cosC＝－，∴C＝120°.答案：120°[例1]在△ABC中，已知a＝2，b＝2，C＝15°，求角A、B和边c的值．[分析]由条件知C为边a、b的夹角，故应由余弦定理来求c的值．[点评]本题求出c后，用正弦定理求角A，需要讨论确定A的值，而求出c

4、后，再用余弦定理求角A，可以避免讨论．[例2]在△ABC中，已知(b＋c)∶(c＋a)∶(a＋b)＝4∶5∶6，求△ABC的最大内角的正弦值．[分析]本题主要考查了余弦定理及大边对大角等平面几何性质，要求出最大内角的正弦值，须先确定哪条边最大(同时表达出边a、b、c的长)，然后应用余弦定理先求出余弦值，再求正弦值．[点评]本题中比例系数k的引入是解题的关键．迁移变式2在△ABC中，已知a＝7，b＝3，c＝5，求最大角和sinC.[例3]在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosBcosC，

5、试判断三角形的形状．[分析]由题目可获取以下主要信息：①边角之间的关系：b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosBcosC；②确定三角形的形状．解答本题先由正弦定理将边转化为角，然后由三角恒等式进行化简，得出结论；也可先由余弦定理及同角三角函数关系转化成边之间的关系，然后由边的关系确定三角形形状．则条件转化为4R2·sin2C·sin2B＋4R2·sin2C·sin2B＝8R2·sinB·sinC·cosB·cosC，又sinB·sinC≠0，∴sinB·sinC＝cosB·cosC，即cos(B＋C)

6、＝0.又0°

7、－a)＝3bc，所以a2＝b2＋c2－bc，又由余弦定理有a2＝b2＋c2－2bccosA，又∵sinA＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC且sinA＝2sinBcosC，∴sinBcosC＝cosBsinC，即sin(B－C)＝0，∴B＝C，又B＋C＝120°，∴B＝C＝60°.故△ABC为等边三角形．[例4]在△ABC中，C＝2A，a＋c＝10，cosA＝，求b.[点评](1)本例首先由正弦定理结合倍角公式求出a、c，再利用余弦定理求出b的值，通过正、余弦定理的完美结合求得结果．(2)

8、正弦定理和余弦定理揭示的都是三角形的边角关系，要解三角形，必须已知三角形的一边的长，对于两个定理，根据实际情况可以选择地运用，也可以综合地运用，要注意以下关系式的运用：迁移变式4在△ABC中，已知A>B>C，且A＝2C，b＝4，a＋c＝8，求a、c的长．利用推论可以由三角形的三边求出三角形的三个内角．请注意：(1)余弦定理揭示了任意三角形边角之间的客观规律，是解三角形的重要工具．(2)余弦定理是勾股定理的推广，勾