离散数学 第二章：一阶逻辑课件.ppt

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1、第2章一阶逻辑§2.1一阶逻辑基本概念§2.2一阶逻辑合式公式及解释§2.3一阶逻辑等值式§2.4＊一阶逻辑推理理论前言苏格拉底三段论:凡人都是要死的.苏格拉底是人.所以苏格拉底是要死的.原因:命题逻辑中,命题是命题演算的基本单位,不再对简单命题进行分解,因而无法研究命题的内在结构及命题之间的内在联系.推理是:由命题逻辑知,它不是重言式.但凭我们的直觉上述论断是正确的,这就是命题逻辑的局限性.而要研究这种内在联系,就要对简单命题作进一步的分析,分析其中的个体词、谓词、量词等,研究他们的形式结构及逻辑关系

2、,总结出正确的推理形式和规则,而这正是一阶逻辑所研究的内容.一阶逻辑也称谓词逻辑.用来刻画个体词的性质或个体词之间关系的词。是指可以独立存在的客体，它可以是一个具体的事物，也可以是一个抽象的概念。例如粉笔、有理数、3、思想、定理等。§2.1一阶逻辑基本概念一.个体词、谓词1.简单命题个体词谓词王宏,小李,小赵…是无理数,…是程序员,…比…高2厘米.个体词性质个体词之间关系个体词:谓词:例如:②王宏是程序员.③小李比小赵高2厘米.是无理数.①个体变项取值范围:个体域(论域)有限的事物无限的事物（宇宙间的一

3、切事物称为全总个体域）无特殊说明谓词符号化个体变项x具有性质F,记作F(x)个体变项x,y具有性质F,记作F(x,y)注:下文中称这种个体变项和谓词的联合体F(x),F(x,y)为谓词.个体常项:具体和特定的个体词个体变项:抽象或泛指的个体词a,b,c,…x,y,z,…个体词谓词常项:具体性质或关系的谓词谓词变项:抽象或泛指的谓词F,G,H,…谓词注:王宏,小李,小赵…是无理数,…是程序员,…比…高2厘米.符号化F(x):x是无理数,a:F(a)L(c,d)c:小李d:小赵L(x,y):x比y高2厘米G

4、(x):x是程序员b:王宏G(b)个体词性质个体词之间关系个体词:谓词符号化:谓词:例如:②王宏是程序员.③小李比小赵高2厘米.是无理数.①谓词中的其它概念:1).元数:谓词中所包含的个体词数.2).n元谓词一元谓词:个体词性质的.n元谓词:个体词之间关系的.表示方法P(x1,x2,…xn)定义域:个体词变项的个体域.值域:{0,1}注:n元谓词不是命题,真值无法确定.要使之成为命题,必须:指定某一谓词常项代替P用n个个体常项代替n个体变项例如:L(x,y)是2元谓词,不是命题.但1。令L(x,y):x

5、小于y.2。令a:2,b:3,则L(a,b)为命题,且为真命题.谓词中谓词部分已成常项.(令c:2,d:1,则L(c,d)为命题,为假命题.)3)0元谓词:不带个体变项的谓词.例如:L(a,b),L(c,d)等.注:(1)0元谓词也不是命题.要使之成为命题,必须:指定某一谓词常项代替L.(2)命题逻辑中的简单命题,也可以用0元谓词表示.因而命题可看成是谓词的特殊情况.例1:将下列命题用0元谓词符号化.(1)2是素数且是偶数.(2)如果2>3,则2>4.(3)如果张明比李民高,李民比赵亮高,张明比赵亮高.

6、解:F(x):x是素数,G(x):x是素数,a:2.(1)符号化为:(2)L(x,y):x>y,a:2,b:3,c:4.符号化为:(3)H(x,y):x比y高,a:张明,b:李民,c:赵亮.符号化为:二.量词1.量词全称量词:一切,所有,任意.存在量词:存在着,有一个,至少有一个.表示对个体域中的所有个体.表示个体域中的所有个体都具有性质F.用表示.用表示.表示存在个体域里的个体.表示存在着个体域中的个体具有性质F.(1)所有的人都要死的.(2)有的人活百岁以上.例:考虑下列命题的符号化问题:引入一个新

7、的谓词(称为特性谓词):M(x):x是人.注:在考虑符号化之前先明确个体域.第二种情况:个体域D为全总个体域.第一种情况:个体域D为人类集合.(1)符号化为:其中F(x):x是要死的.(2)符号化为:其中G(x):x活百岁以上.(1)所有的人都要死的.(2)有的人活百岁以上.例:考虑下列命题的符号化问题:(1)符号化为:(2)符号化为:2.使用量词应注意的问题(1)不同的个体域,命题符号化的形式可能不一样.(2)事先没有给出个体域,应以全总个体域为个体域.(3)引入特性谓词后,使用全称量词与存在量词符号

8、化的形式不同(见种形式).(4)个体域和谓词的含义确定后,n元谓词要转化为命题至少需要n个量词.(5)个体域为有限集时:如D={a1,a2,…,an},对于任意的谓词A(x),(6)多个量词同时出现时,不能随意颠倒顺序.例:考虑下面的命题:“对任意的x,存在着y,使得x+y=5.”符号化为:其中H(x,y):x+y=5.真命题量词顺序颠倒:假命题三.命题符号化举例例2.在一阶逻辑中将下面命题符号化.(1)凡是有理数均可表示成分数.(2)有的