离散数学第二章一阶逻辑

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1、第2章一阶逻辑2.1一阶逻辑基本概念2.2一阶逻辑合式公式及解释2.3一阶逻辑等值式12.1一阶逻辑基本概念个体词谓词量词一阶逻辑中命题符号化2基本概念——个体词、谓词、量词个体词（个体）:所研究对象中可以独立存在的具体或抽象的客体个体常项：具体的事物，用a,b,c表示个体变项：抽象的事物，用x,y,z表示个体域:个体变项的取值范围有限个体域，如{a,b,c},{1,2}无限个体域，如N,Z,R,…全总个体域:宇宙间一切事物组成3基本概念(续)谓词:表示个体词性质或相互之间关系的词谓词常项：F(a)：a是人谓词变项：F(x)：x具有性质

2、F一元谓词:表示事物的性质多元谓词(n元谓词,n2):表示事物之间的关系如L(x,y)：x与y有关系L，L(x,y)：xy，…0元谓词:不含个体变项的谓词,即命题常项或命题变项4基本概念(续)量词:表示数量的词全称量词:表示任意的,所有的,一切的等如x表示对个体域中所有的x存在量词:表示存在,有的,至少有一个等如x表示在个体域中存在x5一阶逻辑中命题符号化例1用0元谓词将命题符号化要求：先将它们在命题逻辑中符号化，再在一阶逻辑中符号化(1)墨西哥位于南美洲在命题逻辑中,设p:墨西哥位于南美洲符号化为p,这是真命题在一阶逻辑中

3、,设a：墨西哥，F(x)：x位于南美洲符号化为F(a)6例1(续)(2)是无理数仅当是有理数在命题逻辑中,设p：是无理数，q：是有理数.符号化为pq,这是假命题在一阶逻辑中,设F(x):x是无理数,G(x):x是有理数符号化为(3)如果2>3，则3<4在命题逻辑中,设p：2>3，q：3<4.符号化为pq,这是真命题在一阶逻辑中,设F(x,y)：x>y，G(x,y)：x

4、D为全总个体域.解：(a)(1)设G(x)：x爱美,符号化为xG(x)(2)设G(x)：x用左手写字,符号化为xG(x)(b)设F(x)：x为人，G(x)：同(a)中(1)x(F(x)G(x))(2)x(F(x)G(x))这是两个基本公式,注意这两个基本公式的使用.8一阶逻辑中命题符号化(续)例3在一阶逻辑中将下面命题符号化(1)正数都大于负数(2)有的无理数大于有的有理数解注意:题目中没给个体域,一律用全总个体域(1)令F(x):x为正数,G(y):y为负数,L(x,y):x>yx(F(x)y(G(y)L(x,y)

5、))或xy(F(x)G(y)L(x,y))两者等值(2)令F(x):x是无理数,G(y):y是有理数,L(x,y)：x>yx(F(x)y(G(y)L(x,y)))或xy(F(x)G(y)L(x,y))两者等值9一阶逻辑中命题符号化(续)几点注意：1元谓词与多元谓词的区分无特别要求，用全总个体域量词顺序一般不能随便颠倒否定式的使用思考：①没有不呼吸的人②不是所有的人都喜欢吃糖③不是所有的火车都比所有的汽车快以上命题应如何符号化？102.2一阶逻辑公式及解释字母表合式公式(简称公式)个体变项的自由出现和约束出现解释永

6、真式（逻辑有效式）矛盾式（永假式）可满足式11字母表定义字母表包含下述符号：(1)个体常项：a,b,c,…,ai,bi,ci,…,i1(2)个体变项：x,y,z,…,xi,yi,zi,…,i1(3)函数符号：f,g,h,…,fi,gi,hi,…,i1(4)谓词符号：F,G,H,…,Fi,Gi,Hi,…,i1(5)量词符号：,(6)联结词符号：,,,,(7)括号与逗号：(,),，12项定义项的定义如下：(1)个体常项和个体变项是项.(2)若(x1,x2,…,xn)是任意的n元函数，t1,t2,…,tn是任意的n个项

7、，则(t1,t2,…,tn)是项.(3)所有的项都是有限次使用(1),(2)得到的.个体常项、变项是项，由它们构成的n元函数和复合函数还是项13原子公式定义设R(x1,x2,…,xn)是任意的n元谓词，t1,t2,…,tn是任意的n个项，则称R(t1,t2,…,tn)是原子公式.原子公式是由项组成的n元谓词.例如，F(x,y),F(f(x1,x2),g(x3,x4))等均为原子公式14合式公式定义合式公式（简称公式）定义如下：(1)原子公式是合式公式.(2)若A是合式公式，则(A)也是合式公式(3)若A,B是合式公式，则(AB),

8、(AB),(AB),(AB)也是合式公式(4)若A是合式公式，则xA,xA也是合式公式(5)只有有限次地应用(1)~(4)形成的符号串是合式公式.请举出几个合式公式的例子.15个体变项的自由出现与