2015年数学建模国赛A题.pdf

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1、直杆影子变化规律和影长定位的研究摘要本文主要讨论了直杆影子变化规律和利用影长变化确定直杆具体位置和测量时间的问题。针对问题一，根据观测地位置、观测时间和太阳赤纬得到太阳高度角公式。由物体受太阳光照成影原理和三角函数关系，建立了影子长度变化模型，并分析了影子长度关于物体高度、赤纬的变化规律。将所建立的影长变化模型应用到已知各数据的直杆，运用MATLAB软件作出影长随时间变化图像，由图像可知影子长度随时间先减短，在12点到13点达到最小值后随时间增加而增长。针对问题二，由问题一知影长关于时间成二次变化曲线，影长最短时刻

2、为当地中午12点，根据时间差得到直杆所在地经度。根据直杆影长数据，运用MATLAB软件进行曲线拟合，可得到直杆位置。将附件1中直杆相关数据代入模型，得到ooo了直杆的两个可能位置为东经1111'9"，北纬1741'55"和东经1111'9"，南纬o332'27"。对所得结果进行误差分析，相对误差均小于1%。针对问题三，根据影子长度与太阳高度角关系建立了影长与时间变化模型，运用MATLAB软件拟合得到附件2中直杆所在位置为东经792'4''，北纬4014'52''或东经792'4''，南纬14'4''，测量日

3、期为2015年7月29日；附件3ooo中直杆测量位置为东经11014'38"，北纬为3256'1"或东经11014'38"，南纬6435'11"，测量日期为2015年11月4日。对所得结果分别进行相对误差分析，误差均小于0.1%。针对问题四，首先对视频进行处理并读取视频中的影长，筛选并保留了38组数据进行分析。通过MATLAB软件进行多项式拟合得到了时间与影长的关系式，计算得直杆位于东经118，代入第一组数据解出直杆测量位置的纬度初值为0,57,57。将经度和纬度作为参量，运用MATLAB软件的nlin

4、fit函数对前30组数据进行拟合，得到两个地点为东经11134'17''，北纬3922'4''和东经12454'47''，南纬737'55''。对所得结果做误差分析，两组结果的相对误差均小于2.5%。当拍摄日期未知，年份确定时，则可确定拍摄地点与拍摄日期。最后对本文模型进行推广，将影长定位模型应用到户外定位。关键词太阳高度角；曲线拟合；误差分析；视频处理1一、问题重述近年来随着互联网技术的凸起，视频应用越来越广泛，如何确定视频的具体拍摄地点和拍摄日期是视频数据分析中的重要方面。太阳影子定位技术就是通过分析视

5、频中影子变化情况来确定视频拍摄的地点和日期。问题一、建立影子长度变化的数学模型，分析影子长度关于各个参数的变化规律，并根据所建模型画出2015年10月22日北京时间9:00-15:00之间天安门广场（北纬39度54分26秒,东经116度23分29秒）3米高的直杆的太阳影子长度变化曲线。问题二、以某垂直地面的固定直杆底端为原点，水平地面为xy平面，根据该直杆在水平地面上太阳影子的顶点坐标数据，建立关于直杆所处位置的数学模型，将所建立模型应用于附件1的影子顶点坐标数据，给出直杆所处的若干可能地点。问题三、以垂直地面的某

6、固定直杆底端为原点，水平地面为xy平面，根据直杆在水平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型求出直杆所处的位置和日期。将所建模型分别应用于附件2和附件3的影子顶点坐标数据，给出直杆所在的若干个可能地点与日期。问题四、附件4为太阳下直杆影子变化的视频，已知视频中直杆高度约为2米。建立确定视频拍摄地点的数学模型，并根据模型求出若干个可能的视频拍摄地点。若视频拍摄日期未知，分析能否根据视频确定拍摄地点与日期。二、问题分析问题一要建立直杆影子长度变化的数学模型，首先需知道太阳影子长度计算公式，故引入太阳高度角[1]这个

7、概念。即若已知某时刻太阳高度角的大小和直杆高度，根据其满足的三角函数关系便可得到此时太阳影子长度。太阳高度角与观测地地理纬度、地方时角和太阳的赤纬[2]相关。其中太阳赤纬是太阳直射点所在纬度，与日期有关；时角由当地经度及其所用时区时间决定，故根据影长、太阳赤纬、时角计算公式可求得直杆影子长度变化模型，并根据模型分析影子长度关于各参数的变化规律。将附件一中直杆的有关数据直杆影长变化模型中，可求出该直杆的具体影长变化公式。根据所建立的模型，运用MATLAB软件便可得到影子长度随时间的变化曲线。问题二需根据某固定直杆在水

8、平地面上的太阳影子顶点坐标数据，建立数学模型确定直杆所处的地点。首先由问题一可推测影子长度与时间的关系，故可将太阳影子长度与对应时间进行拟合，得到影长与时间关系模型。当某个时刻影长得到极小值时，该时刻为太阳与直杆距离最近，即地方时正午12时，结合当地所使用的标准时间便可得到当地经度。最后利用太阳高度角与直杆长度以及影长满足的三角关系式，便可得到影长关于直杆高