矢量分析与场论课件.ppt

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1、电磁场与电磁波矢量分析与场论1内容基本概念标量、矢量、矢性函数场、标量场、矢量场方向导数与梯度、通量与散度、环量与旋度基本定律散度定理、旋度定理、Helmholtz定律圆柱坐标球坐标2标量与矢量3概念什么是标量？常量（数）：大小不变的标量变量：大小变化的标量标量相等：标量的大小相同只有数值大小的代数量称为标量4什么是矢量？常矢：大小与方向均不变的矢量变矢：大小与方向至少有一个变化的矢量既有大小又有方向的量称为矢量矢量的大小称为矢量的模5矢量相等：矢量的大小与方向均相同矢量可以由有向线段表示：线段方向与矢量方向一致线段长度与矢量大小成正比6运算标量与标量的运算代数量之间的各

2、种运算满足代数量的各种运算法则7标量与矢量相乘B的大小：A的大小与a的乘积B的方向：a>0，B与A方向相同a<0，B与A方向相反8矢量相加9矢量相加满足加法交换律矢量相加满足加法结合律10加法结合律11矢量相减12A－B＝A＋(－B)A、－B相加满足矢量加法运算法则13矢量的标量积A、B：A、B的模(A、B)：A、B的夹角矢量的标量积为标量14矢量的标量积满足乘法交换律与分配律矢量的标量积不满足乘法结合律15矢量的矢量积矢量积为矢量大小：ABsin(A,B)方向：垂直于A、B满足右手螺旋法则16右手螺旋法则矢量A、B、C满足17矢量的矢量积满足乘法分配律矢量的矢量积不满足

3、乘法交换律与结合律18矢性函数定义设t为数性变量，A为变矢量，区间G[a,b]内的每一个变量t都对应矢量A的一个确定值A(t)，则称A为t的矢性函数区间G称为矢性函数的定义域19矢端曲线当t变化时，A(t)的终端描绘出的曲线称为矢性函数A(t)的矢端曲线20矢径矢量oM称为点M对于点o的矢径21矢性函数的导数矢性函数的积分22导数公式C为常矢量，k为常数23u为标量函数24积分公式a为常矢量，k为常数25场论26场定义空间区域内的每一点，都对应某物理量的一个确定值，则称在此区域中确定了该物理量的一个场除了区域内有限个点和区域表面以外，场中的物理量处处连续27标量场：标量函

4、数确定的场矢量场：矢性函数确定的场静态场：物理量与时间无关的场动态场：物理量与时间有关的场28标量场的等值面标量场中，由函数值相等的点构成的曲面（曲线）称为标量场的等值面（等值线）过标量场中每一点只有一个等值面标量场中一个点只能在一个等值面上29等高线30矢量场的矢量线矢量场中，用于直观描述矢量函数空间分布的有向曲线称为矢量线矢量线上任意一点的切线方向即为该点处矢量的方向矢量线的密度与矢量的大小成正比31电力线32标量场的方向导数定义设点M0为标量场φ中任意已知点，由M0出发沿某一方向引一条射线l，在l上取一点M，令M0到M的距离为ρ。则下式中的极限称为标量场φ在点M0沿

5、方向l的方向导数33标量场φ在点M0处沿l方向的变化率物理意义φ沿l方向增大φ沿l方向减小34存在性若函数φ(x,y,z)在点M0(x0,y0,z0)处可微，则在点M0处沿l方向的方向导数必然存在cosα、cosβ、cosγ：l的方向余弦35补充：方向角与方向余弦方向角定义：空间两点M1(x1,y1,z1)与M2(x2,y2,z2)确定一矢量a，a与直角坐标三条坐标轴之间的夹角分别为α、β、γ，则将α、β、γ称为矢量a的方向角36方向余弦定义：矢量a方向角的余弦称为a的方向余弦矢量a的方向余弦37方向余弦的性质矢量a的模不等于零38标量场的梯度定义标量场φ中点M处存在一矢

6、量G，其方向为φ在点M处变化率最大的方向，其模等于变化率的最大值，则称矢量G为标量场φ在点M的梯度点M处沿任意方向的方向导数等于该点梯度在此方向上的投影任一点的梯度垂直于过该点的等值面标量场的梯度为矢量39数学描述称为Hamilton算子40运算c为常数，u、v为标量函数41f(u)为标量函数u的函数42有向曲面概念确定了方向的曲面称为有向曲面闭合曲面非闭合曲面43dS表示曲面上任意面元大小：dS方向：面元法线方向n：dS法线方向单位矢量44有向曲面的正侧与负侧：法线指向的一侧称为正侧，另一侧为负侧闭合曲面外部为正侧，内部为负侧45矢量场的通量定义矢量场的通量为标量46含

7、义非闭合曲面：向曲面正侧穿过的通量与向曲面负侧穿过的通量的代数和闭合曲面：由曲面内部穿出的通量与向曲面内部穿入的通量的代数和Φ为净通量47Φ＞0：流向曲面正侧的通量大于流向负侧的通量Φ＜0：流向曲面正侧的通量小于流向负侧的通量Φ＝0：流向正、负侧的通量相等非闭合曲面：48Φ＞0：流出曲面的通量大于流入的通量Φ＜0：流出曲面的通量小于流入的通量Φ＝0：流出与流入的通量相等闭合曲面：49矢量场的散度定义矢量场的散度为标量矢量场A中任取体积元△V包围点M，当△V趋于零时，下式中的极限称为矢量场A在点M处的散度50含义矢量场中任意一点