2014届高考数学（理科）专题教学案：数列的综合应用（含答案）.doc

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1、常考问题10　数列的综合应用[真题感悟]1．(2010·江苏卷)函数y＝x2(x＞0)的图象在点(ak，a)处的切线与x轴交点的横坐标为ak＋1，k为正整数，a1＝16，则a1＋a3＋a5＝________.解析　在点(ak，a)处的切线方程为：y－a＝2ak(x－ak)，当y＝0时，解得x＝，所以ak＋1＝，故{an}是a1＝16，q＝的等比数列，即an＝16×n－1，∴a1＋a3＋a5＝16＋4＋1＝21.答案　212．(2011·湖北卷)《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面

2、4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为________升．解析　法一　设自上第一节竹子容量为a1，则第九节容量为a9，且数列{an}为等差数列．a1＋a2＋a3＋a4＝3，a7＋a8＋a9＝4，即4a5－10d＝3，①3a5＋9d＝4，②联立①②解得a5＝.法二　设自上第一节竹子容量为a1，依次类推，数列{an}为等差数列．又a1＋a2＋a3＋a4＝4a1＋6d＝3，a7＋a8＋a9＝3a1＋21d＝4.解得a1＝，d＝，∴a5＝a1＋4d＝＋4×＝.答案　3．(2013·江苏卷)在正项等比数列{an}中，

3、a5＝，a6＋a7＝3.则满足a1＋a2＋…＋an>a1a2…an的最大正整数n的值为________．解析　由已知条件得q＋q2＝3，即q2＋q－6＝0，解得q＝2，或q＝－3(舍去)，an＝a5qn－5＝×2n－5＝2n－6，a1＋a2＋…＋an＝(2n－1)，a1a2…an＝2－52－42－3…2n－6＝2，由a1＋a2＋…＋an>a1a2…an，可知2n－5－2－5>2，由2n－5>2，可求得n的最大值为12，而当n＝13时，28－2－5<213，所以n的最大值为12.答案　124．(2013·新课标全国Ⅱ卷)等差数

4、列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则nSn的最小值为________．解析　由已知解得a1＝－3，d＝，那么nSn＝n2a1＋d＝－，由于函数f(x)＝－在x＝处取得极小值也是最小值，因而检验n＝6时，6S6＝－48，而n＝7时，7S7＝－49.答案　－49[考题分析]高考对本内容的考查主要有：(1)通过适当的代数变形后，转化为等差数列或等比数列的问题．(2)求数列的通项公式及其前n项和的基本的几种方法．(3)数列与函数、不等式的综合问题.1．数列求和的方法归纳(1)转化法：将数列的项进行分组重组，使

5、之转化为n个等差数列或等比数列，然后应用公式求和；(2)错位相减法：适用于{an·bn}的前n项和，其中{an}是等差数列，{bn}是等比数列；(3)裂项法：求{an}的前n项和时，若能将an拆分为an＝bn－bn＋1，则a1＋a2＋…＋an＝b1－bn＋1；(4)倒序相加法：一个数列倒过来与原数列相加时，若有公因式可提，并且剩余的项的和容易求出，那么这样的数列求和可采用此法．其主要用于求组合数列的和．这里易忽视因式为零的情况；(5)试值猜想法：通过对S1，S2，S3，…的计算进行归纳分析，寻求规律，猜想出Sn，然后用数学归

6、纳法给出证明．易错点：对于Sn不加证明；(6)并项求和法：先将某些项放在一起先求和，然后再求Sn.例如对于数列{an}：a1＝1，a2＝3，a3＝2，an＋2＝an＋1－an，可证其满足an＋6＝an，在求和时，依次6项求和，再求Sn.2．数列的应用题(1)应用问题一般文字叙述较长，反映的事物背景陌生，知识涉及面广，因此要解好应用题，首先应当提高阅读理解能力，将普通语言转化为数学语言或数学符号，实际问题转化为数学问题，然后再用数学运算、数学推理予以解决．(2)数列应用题一般是等比、等差数列问题，其中，等比数列涉及的范围比较广

7、，如经济上涉及利润、成本、效益的增减，解决该类题的关键是建立一个数列模型{an}，利用该数列的通项公式、递推公式或前n项和公式.热点一　可转为等差数列、等比数列的数列问题【例1】已知数列{an}满足a1＝1，a2＝3，an＋2＝3an＋1－2an(n∈N*)．(1)证明：数列{an＋1－an}是等比数列；(2)求数列{an}的通项公式；(3)若数列{bn}满足4b1－1·4b2－1·…·4bn－1＝(an＋1)bn(n∈N*)，证明{bn}是等差数列．(1)证明　因为an＋2＝3an＋1－2an，所以an＋2－an＋1＝2(

8、an＋1－an)．因为a1＝1，a2＝3，a2－a1＝2≠0，所以＝2(n∈N*)，所以{an＋1－an}是以a2－a1＝2为首项，2为公比的等比数列．(2)解　由(1)，得an＋1－an＝2n(n∈N*)，所以an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝2