【北师大版】九年级数学上册：第一章 专训+全章热门考点整合应用（含答案）.doc

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1、专训1　利用矩形的性质巧解折叠问题名师点金：折叠问题往往通过图形的折叠找出线段或角与原图形之间的联系，从而得到折叠部分与原图形或其他图形之间的关系，即折叠前后的图形全等；在计算时，常常通过设未知数列方程求解.利用矩形的性质巧求折叠中的角1.当身边没有量角器时，怎样得到一些特定度数的角呢？动手操作有时可以解“燃眉之急”.如图，已知矩形纸片ABCD(矩形纸片要足够长)，我们按如下步骤操作可以得到一个特定的角：(1)以点A所在直线为折痕，折叠纸片，使点B落在边AD上，折痕与BC交于点E；(2)将纸片展平后，再一

2、次折叠纸片，以点E所在直线为折痕，使点A落在BC上，折痕EF交AD于F，求∠AFE的度数.[(第1题)利用矩形的性质巧求折叠中线段的长2.【2016·台湾】图①为长方形纸片ABCD，AD＝26，AB＝22，直线L，M皆为长方形的对称轴.今将长方形纸片沿着L对折后，再沿着M对折，并将对折后的纸片左上角剪下直角三角形，形成一个五边形EFGHI，如图②，最后将图②的五边形展开后形成一个八边形，如图③，且八边形的每一边长恰好均相等.(第2题)(1)若图②中的HI长度为x，请用x分别表示剪下的直角三角形的勾长和股长

3、.(2)请求出图③中八边形的一边长的数值，并写出完整的解题过程.利用矩形的性质巧证折叠中线段的关系3.如图，将矩形纸片ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于F，连接AE.求证：(1)BF＝DF；(2)AE∥BD.(第3题)利用矩形的性质巧求折叠中线段的比4.如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N.(1)求证：CM＝CN；(2)若△CMN的面积与△CDN的面积比为31，求的值.(第4题)答案(第1题)1.解：设折叠后

4、，点A的对应点为点A′，点B的对应点为点B′，如图，由折叠的性质得∠AEF＝∠A′EF，∠BEA＝∠AEB′，∠B＝∠AB′E，BE＝B′E，AE＝EA′.∵∠BAB′＝∠ABE＝90°，∴∠BEB′＝90°.∴∠BEA＝∠AEB′＝45°.又∠BEA＋∠AEF＋∠FEA′＝180°，∴∠FEA′＝67.5°.∵AD∥BC，∴∠AFE＝∠FEA′＝67.5°.2.解：(1)分别延长HI与FE，相交于点N，如图.∵HN＝AD＝13，NF＝AB＝11，HI＝EF＝x，∴NI＝HN－HI＝13－x，NE＝NF－

5、EF＝11－x.∴剪下的直角三角形的勾长为11－x，股长为13－x.(第2题)(2)在Rt△ENI中，NI＝13－x，NE＝11－x，∴EI＝＝.∵八边形的每一边长恰好均相等，∴EI＝2HI＝2x＝，整理得：x2＋24x－145＝0，(x－5)(x＋29)＝0，解得：x＝5，或x＝－29(舍去).[∴EI＝2×5＝10.故八边形的边长为10.3.证明：(1)由折叠的性质可知，∠FBD＝∠CBD.因为在矩形ABCD中，AD∥BC，所以∠FDB＝∠CBD.所以∠FBD＝∠FDB.所以BF＝DF.(2)因为四边

6、形ABCD是矩形，所以AB＝DC，AD＝BC.由折叠的性质可知，DC＝ED＝AB，BC＝BE＝AD.又因为AE＝AE，所以△AEB≌△EAD.所以∠AEB＝∠EAD.所以∠AEB＝(180°－∠AFE).由(1)知∠DBE＝∠BDF，所以∠DBE＝(180°－∠BFD).而∠AFE＝∠BFD，所以∠AEB＝∠DBE.所以AE∥BD.4.(1)证明：由折叠的性质可得点A，C关于直线MN对称，∴∠ANM＝∠CNM.∵四边形ABCD是矩形，∴AD∥BC.∴∠ANM＝∠CMN.∴∠CMN＝∠CNM.∴CM＝CN.

7、(2)解：过点N作NH⊥BC于点H，则四边形NHCD是矩形，∴HC＝DN，NH＝DC.∵△CMN的面积与△CDN的面积比为3∶1，∴＝＝＝3.∴MC＝3DN＝3HC.∴MH＝2HC.设DN＝x，则HC＝x，MH＝2x.∴CM＝3x＝CN.在Rt△CDN中，DC＝＝2x，∴NH＝2x.在Rt△MNH中，MN＝＝2x.∴＝＝2.专训2　利用特殊四边形的性质巧解动点问题名师点金：利用特殊四边形的性质解动点问题，一般将动点看成特殊点解决问题，再运用从特殊到一般的思想，将特殊点转化为一般点(动点)来解答.平行四边形

8、中的动点问题1.如图，在▱ABCD中，E，F两点在对角线BD上运动(E，F不重合)，且保持BE＝DF，连接AE，CF.请你猜想AE与CF有怎样的数量关系和位置关系，并说明理由.(第1题)菱形中的动点问题2.如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，动点E在边BC上，动点F在边CD上.(1)如图①，若E是BC的中点，∠AEF＝60°，求证：BE＝DF；(2)如图②，若∠EAF＝60°，求证：△AEF是等边三角形.(第2题)矩形中的动