2020年初高中衔接数学新人教版12 从方程的解到零点的概念（解析版）.docx

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1、衔接点12从方程的解到零点的概念【基础内容与方法】1．提出问题：如图为函数f(x)在[－4,4]上的图象：问题1：根据函数的图象，你能否得出方程f(x)＝0的根的个数？提示：方程f(x)＝0的根即为函数f(x)的图象与x轴交点的横坐标，由图可知，方程有3个根，即x＝－3，－1，2．问题2：你认为方程的根与对应函数的图象有什么关系？提示：方程的根是使函数值等于零的自变量值，也就是函数图象与x轴交点的横坐标．2．新知速递（1）函数的零点对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．（2）方程、函数、图象之间的关系方程f(x)＝0有实根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交

2、点⇔函数y＝f(x)有零点．3．新知点晴如下图所示．函数零点的存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)<0.那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．4．化解疑难对函数零点存在性的探究(1)并不是所有的函数都有零点，如函数y＝．(2)当函数y＝f(x)同时满足：①函数的图象在[a，b]上是连续曲线；②f(a)·f(b)<0.则可判定函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，但是不能明确说明有几个．(3)当函数y＝f(x)的图象在[a，b]上是连

3、续的曲线，但是不满足f(a)·f(b)<0时，函数y＝f(x)在区间(a，b)内可能存在零点，也可能不存在零点．类型一：利用零点的定义来确定零点的个数例1：函数f(x)＝x＋的零点个数为(　　)A．0　　B．1　　C．2　　D．3解析：函数f(x)的定义域为{x

4、x≠0}，当x>0时，f(x)>0；当x<0时，f(x)<0，所以函数没有零点，故选A．类型二：利用零点的定义来确定参数的值例2：已知函数f(x)＝x2－ax－b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是________．解析：由题意知，方程x2－ax－b＝0的两根为2、3，∴即a＝5，b＝－6，∴方程bx2－ax

5、－1＝－6x2－5x－1＝0的根为－、－，即为函数g(x)的零点．答案：－，－．类型三：利用零点的定义学会二分法来确定参数的值例3：若方程x2＋(k－2)x＋2k－1＝0的两根中，一根在0和1之间，另一根在1和2之间，则实数k的取值范围是________．解析：由f0＞0，f1＜0，f2＞02k-1＞0，1+k-2+2k-1＜0，4+2k-2+2k-1＞0解得

6、当x2＋4x＋4＝0时，即(x＋2)2＝0，x＝－2．∵－2∈[－4，－1]，∴－2是函数f(x)＝x2＋4x＋4在区间[－4，－1]上的一个零点．答案　D3．若函数f(x)＝ax＋b的零点是2，则函数g(x)＝bx2－ax的零点是(　　)A．0，2B．0，C．0，－D．2，－解析　由条件2a＋b＝0，∴b＝－2a，∴g(x)＝－ax(2x＋1)的零点为0和－．答案　C4．若函数f(x)＝x2－ax＋b的两个零点是2和3，则函数g(x)＝bx2－ax－1的零点是(　　)A．－1和B．1和－C.和D．－和－解析　由于f(x)＝x2－ax＋b有两个零点2和3，∴a＝5，b＝6.∴g(x)＝6x2

7、－5x－1有两个零点1和－.答案　B.5．若函数f(x)＝ax2＋2ax＋c(a≠0)的一个零点为1，则它的另一个零点是________．解析　设另一个零点为x1，则x1＋1＝－2，∴x1＝－3.答案　－3.6．若函数f(x)＝

8、x

9、－k有两个零点，则k的取值范围为________．答案　k>0．7．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：x－3－2－101234y60－4－6－6－406则使ax2＋bx＋c>0的自变量x的取值范围是______．答案　(－∞，－2)∪(3，＋∞)．8．求下列函数的零点．(1)f(x)＝4x－3；　(2)f(x)＝－x2－2x＋3.解析　(

10、1)由f(x)＝4x－3＝0，得x＝，所以函数的零点是．(2)由于f(x)＝－x2－2x＋3＝－(x＋3)(x－1)，因此方程f(x)＝0的根为－3,1，故函数的零点是－3，1．答案　(1)；(2)－3，1．9．(1)判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出．(1)f(x)＝；(2)f(x)＝x2＋2x＋4；解析　(1)令＝0，解得x＝－3，所以函数f(x)＝的零点是x＝－3．(2)令x2＋2x＋4＝0，由