高考金钥匙数学解题技巧大揭秘专题八 平面向量线性运算及综合应用问题.pdf

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1、专题八平面向量线性运算及综合应用问题→→→1．若向量BA＝(2,3)，CA＝(4,7)，则BC＝()．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．(－2，－4)B．(2,4)C．(6,10)D．(－6，－10)→答案：A[抓住向量的起点与终点，用终点坐标减去起点坐标即可．由于BA＝(2,3)，→→→→CA＝(4,7)，那么BC＝BA＋AC＝(2,3)＋(－4，－7)＝(－2，－4)．]ab2．设a，b都是非零向量．下列四个条件中，使＝成立的充分条件是()．

2、a

3、

4、b

5、A．a＝－bB．a∥bC．a＝2bD．a∥b且

6、a

7、＝

8、b

9、abab答案：C[对

10、于A，注意到当a＝－b时，≠；对于B，注意到当a∥b时，与

11、a

12、

13、b

14、

15、a

16、

17、b

18、a2bb可能不相等；对于C，当a＝2b时，＝＝；对于D，当a∥b，且

19、a

20、＝

21、b

22、时，可能有a

23、a

24、

25、2b

26、

27、b

28、abab＝－b，此时≠.综上所述，使＝成立的充分条件是a＝2b.]

29、a

30、

31、b

32、

33、a

34、

35、b

36、3．设a，b是两个非零向量，下列选项正确的是()．A．若

37、a＋b

38、＝

39、a

40、－

41、b

42、，则a⊥bB．若a⊥b，则

43、a＋b

44、＝

45、a

46、－

47、b

48、C．若

49、a＋b

50、＝

51、a

52、－

53、b

54、，则存在实数λ，使得b＝λaD．若存在实数λ，使得b＝λa，则

55、a＋b

56、＝

57、a

58、－

59、b

60、答案：C[

61、对于A，可得cos〈a，b〉＝－1，因此a⊥b不成立；对于B，满足a⊥b时，

62、a＋b

63、＝

64、a

65、－

66、b

67、不成立；对于C，可得cos〈a，b〉＝－1，因此成立，而D显然不一定成立．]4．已知向量a，b夹角为45°，且

68、a

69、＝1，

70、2a－b

71、＝10，则

72、b

73、＝________.解析　依题意，可知

74、2a－b

75、2＝4

76、a

77、2－4a·b＋

78、b

79、2＝4－4

80、a

81、

82、b

83、·cos45°＋

84、b

85、2＝4－22

86、b

87、＋

88、b

89、2＝10，即

90、b

91、2－22

92、b

93、－6＝0，22＋32∴

94、b

95、＝＝32(负值舍去)．2答案　321．高考一般会以客观题的形式重点考查向量的线性运算及

96、其应用，向量的垂直、平移、夹角和模的运算，向量的几何运算等．2．平面向量作为工具在考查三角函数、平面解析几何等内容时常用到，属于中等偏难题．1．要理解平面向量具有两个方面的特征：几何特征和代数特征，可以认为平面向量是联系几何图形和代数运算的纽带，因此复习时要抓住平面向量的核心特征．2．由于平面向量在三角函数、平面解析几何中的工具作用，所以备考时要熟练掌握平面向量的基础知识.必备知识向量的概念(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0.a(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a的单位向量为±.

97、a

98、(3)方向相同

99、或相反的向量叫共线向量(平行向量)．(4)如果直线l的斜率为k，则a＝(1，k)是直线l的一个方向向量．(5)向量的投影：

100、b

101、cos〈a，b〉叫做b在向量a方向上的投影．向量的运算(1)向量的加法、减法、数乘向量是向量运算的基础，应熟练掌握其运算规律．(2)平面向量的数量积的结果是实数，而不是向量，要注意运算数量积与实数运算律的差异，平面向量的数量积不满足结合律与消去律．a·b运算结果不仅与a，b的长度有关而且与a与b的夹角有关，即a·b＝

102、a

103、

104、b

105、cos〈a，b〉．两非零向量平行、垂直的充要条件若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则

106、a∥b⇔a＝λb，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.a⊥b⇔a·b＝0，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.可利用它处理几何中的两线平行、垂直问题，但二者不能混淆．必备方法1．当向量以几何图形的形式出现时，要把这个几何图形中的一个向量用其余的向量线→→性表示，就要根据向量加减法的法则进行，特别是减法法则很容易使用错误，向量MN＝ON→－OM(其中O为我们所需要的任何一个点)，这个法则就是终点向量减去起点向量．2．根据平行四边形法则，对于非零向量a，b，当

107、a＋b

108、＝

109、a－b

110、时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件

111、a＋b

112、＝

113、

114、a－b

115、等价于向量a，b互相垂直，反之也成立．3．两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线．平面向量的概念及线性运算常考查平面向量的基本概念、线性运算、加减运算等基础知识．同时，要加强三角形法则、平行四边形法则应用技巧的训练和常用结论的记忆，难度以中低档为主．→→→→→→【例1】已知△ABC和点M满足MA＋MB＋MC＝0，若存在实数m使得AB＋AC＝mAM成立，则m＝()．A．2B．3C．4D．5[审题视点][听课

116、记录]→→→[审题视点]由MA＋MB＋MC＝0,可知M是△ABC的重心．→→→→→→B[∵MA＋MB＋MC＝0，∴点M是△ABC的重心．∴AB＋AC＝