2014高考金钥匙数学解题技巧大揭秘专题八 平面向量线性运算及综合应用问题

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1、专题八平面向量线性运算及综合应用问题1．若向量＝(2,3)，＝(4,7)，则＝(　　)．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　A．(－2，－4)B．(2,4)C．(6,10)D．(－6，－10)答案：A　[抓住向量的起点与终点，用终点坐标减去起点坐标即可．由于＝(2,3)，＝(4,7)，那么＝＋＝(2,3)＋(－4，－7)＝(－2，－4)．]2．设a，b都是非零向量．下列四个条件中，使＝成立的充分条件是(　　)．A．a＝－bB．a∥bC．a＝2bD．a∥b且

2、a

3、＝

4、b

5、答案：C　[对于A，注意到当a＝－b时，≠；对于B，注意到当a∥b时，与可能不相等；

6、对于C，当a＝2b时，＝＝；对于D，当a∥b，且

7、a

8、＝

9、b

10、时，可能有a＝－b，此时≠.综上所述，使＝成立的充分条件是a＝2b.]3．设a，b是两个非零向量，下列选项正确的是(　　)．A．若

11、a＋b

12、＝

13、a

14、－

15、b

16、，则a⊥bB．若a⊥b，则

17、a＋b

18、＝

19、a

20、－

21、b

22、C．若

23、a＋b

24、＝

25、a

26、－

27、b

28、，则存在实数λ，使得b＝λaD．若存在实数λ，使得b＝λa，则

29、a＋b

30、＝

31、a

32、－

33、b

34、答案：C　[对于A，可得cos〈a，b〉＝－1，因此a⊥b不成立；对于B，满足a⊥b时，

35、a＋b

36、＝

37、a

38、－

39、b

40、不成立；对于C，可得cos〈a，b〉＝－1，因此成立，而

41、D显然不一定成立．]4．已知向量a，b夹角为45°，且

42、a

43、＝1，

44、2a－b

45、＝，则

46、b

47、＝________.解析　依题意，可知

48、2a－b

49、2＝4

50、a

51、2－4a·b＋

52、b

53、2＝4－4

54、a

55、

56、b

57、·cos45°＋

58、b

59、2＝4－2

60、b

61、＋

62、b

63、2＝10，即

64、b

65、2－2

66、b

67、－6＝0，∴

68、b

69、＝＝3(负值舍去)．答案　31．高考一般会以客观题的形式重点考查向量的线性运算及其应用，向量的垂直、平移、夹角和模的运算，向量的几何运算等．2．平面向量作为工具在考查三角函数、平面解析几何等内容时常用到，属于中等偏难题．1．要理解平面向量具有两个方面的特征：几何特征和代数

70、特征，可以认为平面向量是联系几何图形和代数运算的纽带，因此复习时要抓住平面向量的核心特征．2．由于平面向量在三角函数、平面解析几何中的工具作用，所以备考时要熟练掌握平面向量的基础知识.必备知识向量的概念(1)零向量模的大小为0，方向是任意的，它与任意非零向量都共线，记为0.(2)长度等于1个单位长度的向量叫单位向量，a的单位向量为±.(3)方向相同或相反的向量叫共线向量(平行向量)．(4)如果直线l的斜率为k，则a＝(1，k)是直线l的一个方向向量．(5)向量的投影：

71、b

72、cos〈a，b〉叫做b在向量a方向上的投影．向量的运算(1)向量的加法、减法、

73、数乘向量是向量运算的基础，应熟练掌握其运算规律．(2)平面向量的数量积的结果是实数，而不是向量，要注意运算数量积与实数运算律的差异，平面向量的数量积不满足结合律与消去律．a·b运算结果不仅与a，b的长度有关而且与a与b的夹角有关，即a·b＝

74、a

75、

76、b

77、cos〈a，b〉．两非零向量平行、垂直的充要条件若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔a＝λb，a∥b⇔x1y2－x2y1＝0.a⊥b⇔a·b＝0，a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.可利用它处理几何中的两线平行、垂直问题，但二者不能混淆．必备方法1．当向量以几何图形的形式出现时，要把这个几何图

78、形中的一个向量用其余的向量线性表示，就要根据向量加减法的法则进行，特别是减法法则很容易使用错误，向量＝－(其中O为我们所需要的任何一个点)，这个法则就是终点向量减去起点向量．2．根据平行四边形法则，对于非零向量a，b，当

79、a＋b

80、＝

81、a－b

82、时，平行四边形的两条对角线长度相等，此时平行四边形是矩形，条件

83、a＋b

84、＝

85、a－b

86、等价于向量a，b互相垂直，反之也成立．3．两个向量夹角的范围是[0，π]，在使用平面向量解决问题时要特别注意两个向量夹角可能是0或π的情况，如已知两个向量的夹角为钝角时，不单纯就是其数量积小于零，还要求不能反向共线．常考查平面向量的基

87、本概念、线性运算、加减运算等基础知识．同时，要加强三角形法则、平行四边形法则应用技巧的训练和常用结论的记忆，难度以中低档为主．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【例1】已知△ABC和点M满足＋＋＝0，若存在实数m使得＋＝m成立，则m＝(　　)．A．2B．3C．4D．5[审题视点]　　[听课记录][审题视点]由＋＋＝0,可知M是△ABC的重心．B　[∵＋＋＝0，∴点M是△ABC的重心．∴＋＝3.∴m＝3.](1)在用三角形加法法则时要保证“首尾相接”，结果向量是第一个向量的起点指向最后一个向量终点所在的向量；在用三角形减法法则时要保证“同起点”，结果向

88、量的方向是指向被减向量．(2)有的问题可以采用坐标化解决更简单．【突破训练1】如