高考数学（理）大一轮复习达标训练试题：课时跟踪检测(三十四)　数列的综合应用.pdf

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1、课时跟踪检测(三十四)　数列的综合应用(分A、B卷，共2页)A卷：夯基保分1．(2015·云南检测)在数列{an}中，a1＝1，数列{an＋1－3an}是首项为9，公比为3的等比数列．(1)求a2，a3；an(2)求数列的前n项和Sn.{3n}12．(2015·合肥质检)已知函数f(x)＝x＋(x＞0)，以点(n，f(n))为切点作函数图象的切线ln(nx∈N*)，直线x＝n＋1与函数y＝f(x)图象及切线ln分别相交于An，Bn，记an＝

2、AnBn

3、.(1)求切线ln的方程及数列{an}的通项公式；(2)设数列{nan}的前n项和为Sn，求证：Sn＜1.3．已知等比数列{an}满足a

4、n＋1＋an＝9·2n－1，n∈N*.(1)求数列{an}的通项公式；(2)设数列{an}的前n项和为Sn，若不等式Sn＞kan－2对一切n∈N*恒成立，求实数k的取值范围．B卷：增分提能1．(2015·湖南耒阳二中月考)为了加强环保建设，提高社会效益和经济效益，长沙市计划用若干时间更换一万辆燃油型公交车，每更换一辆新车，则淘汰一辆旧车，替换车为电力型和混合动力型车．今年初投入了电力型公交车128辆，混合动力型公交车400辆；计划以后电力型车每年的投入量比上一年增加50%，混合动力型车每年比上一年多投入a辆．(1)求经过n年，该市被更换的公交车总数S(n)；(2)若该市计划7年内完成全

5、部更换，求a的最小值．2.创新题已知点A(1,0)，B(0,1)和互不相同的点P1，P2，P3，…，Pn，…，满足OPn＝anOA＋bnOB(n∈N*)，其中{an}，{bn}分别为等差数列和等比数列，O为坐标原点，若P1是线段AB的中点．(1)求a1，b1的值；(2)点P1，P2，P3，…，Pn，…能否在同一条直线上？请证明你的结论．答案A卷：夯基保分1．解：(1)∵数列{an＋1－3an}是首项为9，公比为3的等比数列，∴an＋1－3an＝9×3n－1＝3n＋1，∴a2－3a1＝9，a3－3a2＝27，∴a2＝12，a3＝63.an＋1an(2)∵an

6、＋1－3an＝3n＋1，∴－＝1，3n＋13nan1∴数列是首项为，公差为1的等差数列，{3n}3annnn－13n2－n∴数列的前n项和Sn＝＋＝.{3n}326112．解：(1)对f(x)＝x＋(x＞0)求导，得f′(x)＝1－，xx211则切线ln的方程为：y－n＋＝1－(x－n)，(n)(n2)12即y＝1－x＋.(n2)n1n－1易知Ann＋1，n＋1＋，Bnn＋1，n＋1＋，(n＋1)(n2)1n－11由an＝

7、AnBn

8、知an＝－＝.

9、n＋1n2

10、n2n＋1111(2)证明：∵nan＝＝－，nn＋1nn＋1111111∴Sn＝a1＋2a2＋…＋nan＝1－＋－

11、＋…＋－＝1－＜1.223nn＋1n＋13．解：(1)设等比数列{an}的公比为q，∵an＋1＋an＝9·2n－1，n∈N*，∴a2＋a1＝9，a3＋a2＝18，a3＋a218∴q＝＝＝2，a2＋a19∴2a1＋a1＝9，∴a1＝3.∴an＝3·2n－1，n∈N*.a11－qn31－2n(2)由(1)知Sn＝＝＝3(2n－1)，1－q1－2∴不等式3(2n－1)＞k·3·2n－1－2，1即k＜2－对一切n∈N*恒成立．3·2n－11令f(n)＝2－，则f(n)随n的增大而增大，3·2n－1155∴f(n)min＝f(1)＝2－＝，∴k＜.3335∴实数k的取值范围为－∞，.(3

12、)B卷：增分提能1．解：(1)设an，bn分别为第n年投入的电力型公交车、混合动力型公交车的数量．3依题意，得{an}是首项为128，公比为1＋50%＝的等比数列，{bn}是首项为400，公2差为a的等差数列．所以{an}的前n项和3128×1－n23Sn＝[()]＝256n－1，3[(2)]1－2nn－1{bn}的前n项和Tn＝400n＋a.2所以经过n年，该市被更换的公交车总数为3nn－1S(n)＝Sn＋Tn＝256n－1＋400n＋a.[(2)]2(2)若计划7年内完成全部更换，则S(7)≥10000，37×6所以2567－1＋400×7＋a≥10000，[(2)]216

13、即21a≥3082，所以a≥146.21又a∈N*，所以a的最小值为147.112．解：(1)P1是线段AB的中点⇒OP1＝OA＋OB，22又OP1＝a1OA＋b1OB，且OA，OB不共线，1由平面向量基本定理，知a1＝b1＝.2(2)由OP＝anOA＋bnOB(n∈N*)⇒OP＝(an，bn)，nn设{an}的公差为d，{bn}的公比为q，则由