《近世代》模拟试卷.doc

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1、《近世代数》模拟试卷一、(16分)叙述概念或命题1.正规子群;2.唯一分解环;3.代数数;4.鲁非尼-阿贝尔定理二、(12分)填空题1.设有限域的阶为81,则的特征。2.已知群中的元素的阶等于50,则的阶等于。3.一个有单位元的无零因子称为整环。4.如果710002601是一个国际标准书号,那么。三、(10分)设是群。证明:如果对任意的,有,则是交换群。四、(10分)证明:任何方阵都可唯一地表示成一个对称矩阵与一个反对称矩阵之和。五、(15分)设是四元数体,对H中任意元,定义其共轭。1.证明:是一个非负实数;2.对,,求,和。六、(15分)设,是整数环的理想,试求下列各理想,并简述理由。1.

2、;2.;3.七、(10分)设有置换,。1.求和;2.确定置换和的奇偶性。八、(12分)求剩余类加群Z12中每个元素的阶。《近世代数》试卷答案一、1.若H是群G的子群,且对每个,有,那么H称为是G的正规子群。2.设R是个整环,若对于R中每个非零非单位的元都有唯一分解,则称R为唯一分解环。3.有理数域上的代数元称为代数数。4.如果(特征为0),那么次的一般方程没有根式解。二、1.32.253.交换环4.6三、对于G中任意元x,y,由于,所以(对每个x,从可得)。四、设A是任意方阵,令,,则B是对称矩阵,而C是反对称矩阵,且。若令有,这里和分别为对称矩阵和反对称矩阵,则,而等式左边是对称矩阵,右边

3、是反对称矩阵,于是两边必须都等于0,即:,,所以,表示法唯一。五、1.2.,,六、1.;2.;3.七、1.,;2.两个都是偶置换。八、元素01234567891011阶1126431221234612

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