2019_2020学年高中数学第3章数系的扩充与复数3.2.3复数的除法学案新人教B版选修2_2.doc

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1、3．2.3　复数的除法　1.了解复数的倒数的定义．　2.理解实系数一元二次方程根的问题．　3.掌握复数除法运算法则．1．复数的倒数已知z＝a＋bi(a，b∈R)，如果存在一个复数z′，使z·z′＝1，则z′叫做z的倒数，记作.由复数的乘法法则可得＝.2．复数的除法法则——分母实数化设z1＝a＋bi，z2＝c＋di.(a、b、c、d∈R，z2≠0)则＝＝．3．实系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a，b，c∈R，a≠0)的根，(1)当Δ≥0时，x＝，(2)当Δ＜0时，x＝．1．复数－＝(　　)A．0　　　　B．2　　　　C．－

2、2i　　　　D．2i解析：选D.原式＝－＝＝2i，故选D.2．复数z＝－2＋i，则＝________．解析：＝＝＝－－i.答案：－－i3．设i是虚数单位，是复数z的共轭复数，若z＝，则＝________．解析：z＝＝＝－1－i，所以＝－1＋i.答案：－1＋i　复数除法的运算9　(1)计算(7＋2i)÷(3－4i)；(2)求适合方程＋＝的实数x、y的值．[解]　(1)原式＝＝＝＝＋i.(2)因为＋＝，所以＋＝，即＋＝，所以(5x＋2y)＋(5x＋4y)i＝5＋15i，所以解得根据复数的除法法则，通过分子、分母都乘以分母的共轭复数

3、，使“分母实数化”，这个过程与“分母有理化”类似．　　计算下列各式的值．(1)；(2).解：(1)＝＝2i(1＋i)＝－2＋2i.(2)＝＝＝－i.　复数除法及幂的综合运用　计算：(1)＋；(2).[解]　(1)法一：原式＝＋＝i6＋9＝－1＋i.法二：(技巧解法)：原式＝＋＝i6＋＝－1＋i.(2)原式＝＝－×＝－×(－4)×＝－1＋i.计算复数除法时，有如下技巧：(1)＝＝＝i，利用此法可将一些特殊类型题的计算过程简化．(2)记ω＝－＋i，有ω2＝，ω3n＝1，ω3n＋1＝ω，ω3n＋2＝ω2＝(n∈N＋)，利用这一技巧可

4、以使形如(a±ai)n的计算更加简单，如(1－i)8＝＝28·ω8＝28·ω2＝28·＝28＝－128－128i.(3)要记住一些简单结论，如＝∓i，＝±i，(1±i)2n＝(±2i)n(n∈N＋)等．　　计算＋.解：＋＝＋＝i(1＋i)＋＝－1＋i＋＝－1＋i＋＝－1＋i＋9＝－2＋i.　复数运算的综合应用　复数z＝且

5、z

6、＝4，z对应的点在第一象限，若复数0，z，对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a，b的值．[解]　z＝(a＋bi)＝2i·i(a＋bi)＝－2a－2bi.由

7、z

8、＝4，得a2＋b2＝4.①因为复数0，z，

9、对应的点是正三角形的三个顶点，所以

10、z－

11、＝

12、z

13、.把z＝－2a－2bi代入上式化简得a2－3b2＝0.②又因为z对应的点在第一象限，所以a<0，b<0.由①②得故所求值为a＝－，b＝－1.对于复数计算题正确的处理方法是：先将要求的代数式变形，再进行计算．常用的变形方法是：①通分；②进行乘方运算；③分母实数化．　　已知z＝，其中i为虚数单位，a>0，复数ω＝z(z＋i)且虚部减去它的实部所得的差等于，求复数ω的模．解：因为z＝，代入ω＝z(z＋i)，得ω＝(＋i)＝＝＝＝＋i，所以ω的实部为，虚部为.由已知得－＝，9解得a2＝

14、4，所以a＝±2.又a>0，故a＝2，所以

15、ω

16、＝

17、＋i

18、＝

19、＋i

20、＝

21、＋3i

22、＝.1．复数的除法运算法则的记忆复数除法一般先写成分式形式，再把分母实数化，即分子分母同乘以分母的共轭复数，若分母为纯虚数，则只需同乘以i.2．含幂运算的题目，有时如果能用上特殊复数i以及一些常见的结论，可以更有效地简化运算，提高计算速度．1．算式中出现字母时，首先确定其是否为实数．2．在复数的乘除法中，注意要把i2化为－1后再化简．　1．若z＝，则复数＝(　　)A．－2－i　　B．－2＋i　　C．2－i　　D．2＋i解析：选D.z＝＝2＋＝2－i

23、，＝2＋i.2．复数()10＝________．解析：()10＝＝(－i)10＝－1.答案：－13．在复平面内，复数对应的点的坐标为________．解析：＝＝i(1＋i)＝－1＋i.答案：(－1，1)[A　基础达标]1．复数＝(　　)A．i　　　　　　　　　　　B．－i9C．－－iD．－＋i解析：选A.＝＝＝i，故选A.2．已知复数z1＝2＋i，z2＝3－i，其中i是虚数单位，则复数的实部与虚部之和为(　　)A．0B.C．1D．2解析：选C.＝＝＋i，所以＋＝1.3．复数z＝在复平面上对应的点位于(　　)A．第一象限B．第二

24、象限C．第三象限D．第四象限解析：选A.＝＝＋i，所以复数z在复平面内对应的点为，位于第一象限．4．若将复数表示为a＋bi(a，b∈R，i是虚数单位)的形式，则a＋b等于(　　)A．－1B．0C．1D．2解析：选C.＝＝i，则a＋b＝1.5．已知f(n)＝in－i－n(i2＝