2019_2020学年高中数学第2章推理与证明2.3.1数学归纳法2.3.2数学归纳法应用举例学案新人教B版选修2_2.doc

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1、2．3.1　数学归纳法2．3.2　数学归纳法应用举例　1.了解数学归纳法的原理．　2.理解数学归纳法中，两个步骤的作用．　3.掌握数学归纳法的证题步骤．　数学归纳法一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N＋)时命题成立；(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N＋)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立．只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．上述证明方法叫做数学归纳法．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)与正整数n有关的数学命题的证明只能用数学归纳法．(　　)(2)数学归纳法的

2、第一步n0的初始值一定为1.(　　)(3)数学归纳法的两个步骤缺一不可．(　　)答案：(1)×　(2)×　(3)√2．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取(　　)A．2　　　　　　　　　　　B．3C．5D．6解析：选C.当n取1、2、3、4时2n>n2＋1不成立，当n＝5时，25＝32>52＋1＝26，第一个能使2n>n2＋1的n值为5，故选C.3．用数学归纳法证明＋＋＋…＋＝(n∈N＋)时，从“n＝k→n＝k＋1”，等式左边需增添的项是(　　)A．B．＋C．D．12解析：选C.当n＝k时，左边为＋＋…＋，当n＝k＋1时，左边为＋＋

3、…＋＋，比较可知增加了一项.　用数学归纳法证明等式　用数学归纳法证明：1×4＋2×7＋3×10＋…＋n(3n＋1)＝n(n＋1)2，其中n∈N＋.[证明]　(1)当n＝1时，左边＝1×4＝4，右边＝1×22＝4，左边＝右边，等式成立．(2)假设当n＝k(k∈N＋)时等式成立，即1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，那么当n＝k＋1时，1×4＋2×7＋3×10＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝k(k＋1)2＋(k＋1)[3(k＋1)＋1]＝(k＋1)(k2＋4k＋4)＝(k＋1)[(k＋1)＋1]2，即当n＝k＋1时等式也成立．根据(1)和(2)可

4、知等式对任何n∈N＋都成立．用数学归纳法证明等式的方法　　用数学归纳法证明：对任何正整数n都有＋＋＋…＋＝成立．证明：(1)当n＝1时，左边＝＝，右边＝，等式成立．(2)假设n＝k(k∈N＋)时，＋＋＋…＋＝成立，则当n＝k＋1时，＋＋＋…＋＋＝12＋＝＝＝＝，所以n＝k＋1时，等式成立．由(1)(2)可得对一切正整数n，等式均成立．　用数学归纳法证明不等式　用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋<2－(n≥2)．[证明]　(1)当n＝2时，1＋＝<2－＝，命题成立．(2)假设当n＝k(k∈N＋，k≥2)时命题成立，即1＋＋＋…＋<2－，当n＝k＋1时，1＋＋＋…＋＋<2－＋<2－＋＝2－＋－＝2

5、－，命题成立．由(1)(2)知原不等式在n≥2时均成立．用数学归纳法证明不等式问题的四个关键点　　设n∈N＋，n＞1，用数学归纳法证明：1＋＋＋…＋＞.证明：设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N＋，n＞1)．①当n＝2时，f(2)＝1＋＞，不等式成立．②假设n＝k(k∈N＋，k≥2)时，不等式成立，12即f(k)＝1＋＋＋…＋＞，则当n＝k＋1时，有f(k＋1)＝f(k)＋＞＋＝＞＝.所以当n＝k＋1时，不等式也成立．综合①②知，原不等式对任意的n∈N＋，n＞1都成立．　用数学归纳法证明整除问题或几何问题　用数学归纳法证明：f(n)＝(2n＋7)·3n＋9能被36整除．[证明]　①当n＝1时，

6、f(1)＝(2×1＋7)×3＋9＝36，能被36整除．②假设n＝k(k∈N＋)时，f(k)能被36整除，即(2k＋7)·3k＋9能被36整除，则当n＝k＋1时，f(k＋1)＝[2(k＋1)＋7]·3k＋1＋9＝3[(2k＋7)·3k＋9]＋18(3k－1－1)，由归纳假设知3[(2k＋7)·3k＋9]能被36整除，而3k－1－1是偶数，所以18(3k－1－1)能被36整除，所以f(k＋1)能被36整除．由①②可知，对任意的n∈N＋，f(n)能被36整除．应用数学归纳法证明整除性问题时，关键是“凑项”，采用增项、减项、拆项和因式分解等方法，也可以说将式子“硬提公因式”，即将n＝k时的项从n＝

7、k＋1时的项中“硬提出来”，构成n＝k的项，后面的式子相应变形，使之与n＝k＋1时的项相同，从而达到利用假设的目的．　　当n为正奇数时，7n＋1能否被8整除？若能，用数学归纳法证明；若不能，请举出反例．解：(1)当n＝1时，7＋1＝8能被8整除；(2)假设当n＝k(k为正奇数)时命题成立，即7k＋1能被8整除，则当n＝k＋2时，7k＋2＋1＝72(7k＋1)＋1－72＝49(7k＋1)－48，因为7k＋1能被8整除，且4