八年级数学上册 第13章 整式的乘除 13.2 整式的乘法参考资料 华东师大版.doc

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1、13.2整式的乘法透视整式乘法中的数学思想数学思想方法是数学知识的精髓，是解题的指导思想，若能正确把握它，并把它落实到学习和应用数学的活动中去，就相当于找到了打开智慧之门的金钥匙.在整式的乘法中蕴含着一些重要的数学思想，为帮助同学们借助数学思想更好地解题，现举例如下：一、整体思想例1已知m2＋m－1=0，求m3＋2m2＋2008的值.分析：已知条件是一个二次式，待求式为三次式，我们把已知条件作为一个整体，经过适当变化代入待求式中，使问题得以解决.解法一：m3＋2m2＋2008=m3＋m2＋m2＋m－m＋2008=m3＋m2－m＋m2＋m－1＋2

2、009=m(m2＋m－1)＋(m2＋m－1)＋2009=2009.解法二：由m2＋m－1=0，得m2＋m=1.m3＋2m2＋2008=m3＋m2＋m2＋2008=m(m2＋m)＋m2＋2008=m2＋m＋2008=1＋2008=2009.点评：整体思想是一种重要的数学方法，在解题中有着广泛的应用.解法一将已知条件视为一个整体，解法二将变化后的式子视为一个整体.二、恒等思想例2已知(x＋ay)(x＋by)=x2－4xy＋6y2，求代数式13(a＋b)－6ab的值.分析：根据题意求a、b的值不太容易，不妨将等式左边按多项式乘多项式的法则展开，再比较

3、等式两边各项的系数，可求得a＋b、ab的值.解：(x＋ay)(x＋by)=x2＋bxy＋axy＋aby2=x2＋(a＋b)xy＋aby2=x2－4xy＋6y2.比较系数，得a＋b=－4，ab=6.所以13(a＋b)－6ab=13×(－4)－6×6=－88.点评：本题解法巧妙地利用了“恒等思想”，这是数学中常用的一种处理问题的思想，最后直接将a＋b、ab的值代入所求式子，又体现了整体思想.三、换元思想例3计算：(a1＋a2＋…＋an－1)·(a2＋a3＋…＋an)－(a2＋a3＋…＋an－1)·(a1＋a2＋…＋an).分析：本题若按多项式乘法法

4、则展开很复杂，观察这四个多项式发现它们有很多共同的项，因此不妨设a2＋a3＋…＋an－1=A，利用换元法求解，可以大大简化运算过程.解：设a2＋a3＋…＋an－1=A，原式=(a1＋A)·(A＋an)－A(a1＋A＋an)=a1A＋a1an＋A2＋Aan－Aa1－A2－Aan=a1an.点评：用A代替a2＋a3＋…＋an－1的方法即为换元，它起到了变复杂为简单，变陌生为熟悉的作用.四、数形结合思想例4一些代数恒等式可以用平面几何图形的面积来表示，例如：(2a＋b)(a＋b)=2a2＋3ab＋b2就可以用图1或图2等图形的面积表示：b2图3abb

5、2ababababa2a2ababb2aba2a2baaabaabbaa2a2abababb2图1图22用心爱心专心（1）请写出图3所表示的代数恒等式：______________________；（2）试画出一个几何图形，使它的面积能表示：(a＋b)(a＋3b)=a2＋4ab＋3b2；（3）请仿照上述方法另写一个含有a、b的代数恒等式，并画出与之对应的几何图形.分析：图形是一种重要的数学语言，它直观形象，能有效地表示一些代数中的数量关系.对几何图形作出代数解释和用几何图形的面积表示代数恒等式是互逆的，一般是从面积方面进行考虑.解：（1）(2a

6、＋b)(a＋2b)=2a2＋5ab＋2b2；（2）画图（如图4）；（3）答案不惟一，如a(a＋2b)=a2＋2ab，与之对应的几何图形如图5.图5aabba2b2b2b2abababab图4点评：从图形中提炼、抽象公式（或等式）是近些年中考的亮点，解此类题的关键是注意把握图形的面积，利用割补原理.2用心爱心专心