步步高2014届高考数学江苏专用(文)二轮专题突破：专题五 第3讲 圆锥曲线中的热点问题.doc

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1、第3讲　圆锥曲线中的热点问题【高考考情解读】　纵观近几年高考，解析几何是重要内容之一，所占分值在30分以上，大题小题同时有，除了本身知识的综合，还会与其它知识如向量、函数、不等式等知识构成综合题，多年高考压轴题是解析几何题.1.填空题主要考查圆锥曲线的几何性质，三种圆锥曲线都有可能涉及.2.在解答题中主要考查圆、直线、椭圆的综合问题，难度较高，还有可能涉及简单的轨迹方程和解析几何中的开放题、探索题、证明题，重点关注定点、定值及最值、范围问题．1．直线与圆锥曲线的位置关系(1)直线与椭圆的位置关系的判定方法：将直线方程与椭圆方程联立，消去一个未知数，

2、得到一个一元二次方程．若Δ>0，则直线与椭圆相交；若Δ＝0，则直线与椭圆相切；若Δ<0，则直线与椭圆相离．(2)直线与双曲线的位置关系的判定方法：将直线方程与双曲线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．①若a≠0，当Δ>0时，直线与双曲线相交；当Δ＝0时，直线与双曲线相切；当Δ<0时，直线与双曲线相离．②若a＝0时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点．(3)直线与抛物线的位置关系的判定方法：将直线方程与抛物线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)

3、．①当a≠0时，用Δ判定，方法同上．②当a＝0时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点．2．有关弦长问题有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算．(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长P1P2＝

4、x2－x1

5、或P1P2＝

6、y2－y1

7、，其中求

8、x2－x1

9、与

10、y2－y1

11、时通常使用根与系数的关系，即作如下变形：

12、x2－x1

13、＝，

14、y2－y1

15、＝.(2)当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)．3．

16、弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算．考点一　圆锥曲线的弦长及中点问题例1　已知椭圆G：＋＝1(a>b>0)的离心率为，右焦点(2，0)，斜率为1的直线l与椭圆G交于A，B两点，以AB为底边作等腰三角形，顶点为P(－3,2)．(1)求椭圆G的方程；(2)求△PAB的面积．解　(1)由已知得c＝2，＝.解得a＝2，又b2＝a2－c2＝4.所以椭圆G的方程为＋＝1.(2)设直线l的方程为y＝x＋m.由得4x2＋6mx＋3m2－12＝0.①设A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)(x1

17、E(x0，y0)，则x0＝＝－，y0＝x0＋m＝；因为AB是等腰△PAB的底边，所以PE⊥AB.所以PE的斜率k＝＝－1.解得m＝2.此时方程①为4x2＋12x＝0.解得x1＝－3，x2＝0.所以y1＝－1，y2＝2.所以AB＝3.此时，点P(－3,2)到直线AB：x－y＋2＝0的距离d＝＝，所以△PAB的面积S＝AB·d＝.解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单．椭圆＋y2＝1的弦被点平分，则这条弦所在

18、的直线方程是________．答案　2x＋4y－3＝0解析　设弦的两个端点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝1，y1＋y2＝1.∵A，B在椭圆上，∴＋y＝1，＋y＝1.＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0，即＝－＝－，即直线AB的斜率为－.∴直线AB的方程为y－＝－，即2x＋4y－3＝0.考点二　圆锥曲线中的定值、定点问题例2　已知椭圆C：＋＝1经过点(0，)，离心率为，直线l经过椭圆C的右焦点F交椭圆于A、B两点，点A、F、B在直线x＝4上的射影依次为D、K、E.(1)求椭圆C的方程；(2)若直线l交y轴于点M，且＝λ，＝μ，当直

19、线l的倾斜角变化时，探求λ＋μ的值是否为定值？若是，求出λ＋μ的值；否则，说明理由；(3)连结AE、BD，试探索当直线l的倾斜角变化时，直线AE与BD是否相交于定点？若是，请求出定点的坐标，并给予证明；否则，说明理由．(1)待定系数法；(2)用直线的斜率为参数建立直线方程，代入椭圆方程消y后可得点A，B的横坐标的关系式，然后根据向量关系式＝λ，＝μ把λ，μ用点A，B的横坐标表示出来，只要证明λ＋μ的值与直线的斜率k无关即证明了其为定值，否则就不是定值；(3)先根据直线l的斜率不存在时的特殊情况，看两条直线AE，BD的交点坐标，如果直线AE，BD相交

20、于定点的话，这个特殊位置时的交点就是这个定点，这样只要证明直线AE，BD都经过这个定点即证明了两直线相交于定点，否则两直线