步高高考数学江苏专用(文)二轮专题突破：专题四第讲空间中的平行与垂直

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1、第2讲　空间中的平行与垂直【高考考情解读】　高考对本节知识的考查主要是以下两种形式：1.以填空题的形式考查，主要利用平面的基本性质及线线、线面和面面的判定与性质定理对命题真假进行判断，属基础题.2.以解答题的形式考查，主要是对线线、线面与面面平行和垂直关系交汇综合命题，且多以棱柱、棱锥、棱台或其简单组合体为载体进行考查，难度中等．1．线面平行与垂直的判定定理、性质定理线面平行的判定定理⇒a∥α线面平行的性质定理⇒a∥b线面垂直的判定定理⇒l⊥α线面垂直的性质定理⇒a∥b2．面面平行与垂直的判定定理、性质定理面面垂直的判定定理⇒α⊥β面面垂直的性质定理⇒a⊥β面面平行的判定定理⇒α∥β面面平行的

2、性质定理⇒a∥b提醒　使用有关平行、垂直的判定定理时，要注意其具备的条件，缺一不可．3．平行关系及垂直关系的转化示意图-16-/16考点一　空间线面位置关系的判断例1　(1)l1，l2，l3是空间三条不同的直线，则下列命题正确的是________．(填序号)①l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3②l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3③l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面④l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面(2)设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是________．(填序号)①若l⊥m，m⊂α，则l⊥α②若l⊥α，l∥m，则m⊥α③若l∥α，m⊂α，则l∥m④若l∥α

3、，m∥α，则l∥m答案　(1)②　(2)②解析　(1)对于①，直线l1与l3可能异面、相交；对于③，直线l1、l2、l3可能构成三棱柱的三条棱而不共面；对于④，直线l1、l2、l3相交于同一个点时不一定共面，如正方体一个顶点的三条棱．对于②，由异面直线所成角的定义知②正确．(2)①中直线l可能在平面α内；③与④中直线l，m可能异面；事实上由直线与平面垂直的判定定理可得②正确．解决空间点、线、面位置关系的组合判断题，主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况，以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断，必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断，同时要注意平面几何中的

4、结论不能完全移植到立体几何中．(1)(2013·广东改编)设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，-16-/16下列命题中正确的是________．(填序号)①若α⊥β，m⊂α，n⊂β，则m⊥n②若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n③若m⊥n，m⊂α，n⊂β，则α⊥β④若m⊥α，m∥n，n∥β，则α⊥β(2)平面α∥平面β的一个充分条件是________．(填序号)①存在一条直线a，a∥α，a∥β②存在一条直线a，a⊂α，a∥β③存在两条平行直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α④存在两条异面直线a，b，a⊂α，b⊂β，a∥β，b∥α答案　(1)④　(2)④考点二　线线、线面的位置

5、关系例2　如图，在四棱锥P—ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点，PA＝2AB.(1)若F为PC的中点，求证：PC⊥平面AEF；(2)求证：EC∥平面PAB.证明　(1)由题意得PA＝CA，∵F为PC的中点，∴AF⊥PC.∵PA⊥平面ABCD，∴PA⊥CD.∵AC⊥CD，PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC，∴CD⊥PC.∵E为PD的中点，F为PC的中点，∴EF∥CD，∴EF⊥PC.∵AF∩EF＝F，∴PC⊥平面AEF.(2)方法一　如图，取AD的中点M，连结EM，CM.则EM∥PA.∵EM⊄平面PAB，PA⊂平面PAB，∴EM∥

6、平面PAB.在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，MC＝AM，∴∠ACM＝60°.而∠BAC＝60°，∴MC∥AB.∵MC⊄平面PAB，AB⊂平面PAB，∴MC∥平面PAB.∵EM∩MC＝M，∴平面EMC∥平面PAB.∵EC⊂平面EMC，∴EC∥平面PAB.-16-/16方法二　如图，延长DC、AB，设它们交于点N，连结PN.∵∠NAC＝∠DAC＝60°，AC⊥CD，∴C为ND的中点．∵E为PD的中点，∴EC∥PN.∵EC⊄平面PAB，PN⊂平面PAB，∴EC∥平面PAB.(1)立体几何中，要证线垂直于线，常常先证线垂直于面，再用线垂直于面的性质易得线垂直于线．要证线平行于面，只需先证线平行于线

7、，再用线平行于面的判定定理易得．(2)证明立体几何问题，要紧密结合图形，有时要利用平面几何的相关知识，因此需要多画出一些图形辅助使用．如图所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝BC＝BB1，D为AC的中点．(1)求证：B1C∥平面A1BD；(2)若AC1⊥平面A1BD，求证：B1C1⊥平面ABB1A1；(3)在(2)的条件下，设AB＝1，求三棱锥B－A1C1D的体积．(1)证明　如图所示，