2019_2020学年高中数学第二章平面向量2.1.4数乘向量学案新人教B版必修4.doc

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1、2．1.4　数乘向量　1.了解数乘向量的定义、向量线性运算的性质及其几何意义．　2.理解数乘向量的含义．3．掌握数乘向量的运算及其几何意义．[学生用书P39])1．数乘向量(1)实数λ和向量a的乘积是一个向量，记作λa，λa的长度

2、λa

3、＝

4、λ

5、

6、a

7、．若a≠0，当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反．当λ＝0或a＝0时，0a＝0或λ0＝0．(2)数乘向量的几何意义：把向量a沿着a的方向或a的反方向放大或缩小．(3)数乘向量的运算律设λ，μ为实数，则①(λ＋μ)a＝λa＋μa；②λ(

8、μa)＝(λμ)a；③λ(a＋b)＝λa＋λb(分配律)．2．向量的线性运算向量的加法、减法和数乘向量的综合运算，通常叫做向量的线性运算．1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)实数λ与向量a的积还是向量．(　　)(2)3a与a的方向相同，－3a与a的方向相反．(　　)(3)若ma＝mb，则a＝b.(　　)答案：(1)√　(2)√　(3)×2．4(a－b)－3(a＋b)－b等于(　　)A．a－2b　　　B．a　　　C．a－6b　　　D．a－8b答案：D3．点C在直线AB上，且＝3，则等于(　　)A．－2B．C．

9、－D．212答案：D　数乘向量运算的概念[学生用书P39]　已知a、b是两个非零向量，判断下列说法是否正确，并说明理由．(1)2a与5a的方向相同，且2a的模是5a的模的；(2)－4a与a是共线向量，且－4a的模是a的模的四倍；(3)a－b与－(b－a)是一对相反向量．【解】　(1)正确，因为2＞0，所以2a与a方向相同，且

10、2a

11、＝2

12、a

13、；因为5＞0，所以5a与a方向相同，且

14、5a

15、＝5

16、a

17、.所以2a与5a方向相同，且2a的模是5a的模的.(2)正确，因为－4＜0，所以－4a与a方向相反，两向量共线．又

18、－4a

19、

20、＝4

21、a

22、，所以(2)正确．(3)错误．法一：因为－(b－a)与b－a是一对相反向量，而a－b与b－a是一对相反向量，故a－b与－(b－a)为相等向量．法二：因为－(b－a)＝－b＋a＝a－b，所以a－b与－(b－a)为相等向量．首先要意识到向量线性运算的结果仍是向量，然后要明确判断两向量的关系，应从两个方面入手，一是方向，二是长度．　　试判断下列说法的正误，并说明理由．(1)若λa＝0，则λ＝0；(2)若非零向量a，b满足

23、a－b

24、＝

25、a

26、＋

27、b

28、，λμ＞0，则λa与μb同向；(3)对于实数m、n和向量a，若ma＝n

29、a，则m＝n.解：(1)错误．λa＝0，则λ＝0或a＝0.(2)错误．由

30、a－b

31、＝

32、a

33、＋

34、b

35、知a与b反向．由λμ＞0知λ与μ同号，所以λa与μb反向．(3)错误．当a＝0时，虽有m0n00，但m与n不一定相等．　向量的线性运算[学生用书P40]12　(1)计算：①4(a＋b)－3(a－b)－8a；②(5a－4b＋c)－2(3a－2b＋c)；③.(2)设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求－＋(2b－a)．【解】　(1)①原式＝4a＋4b－3a＋3b－8a＝－7a＋7b.②原式＝5a－4b＋c－6a＋4b－2c＝－

36、a－c.③原式＝＝＝a－b.(2)原式＝a－b－a＋b＋2b－a＝a＋b＝－a＋b＝－(3i＋2j)＋(2i－j)＝i＋j＝－i－5j.向量线性运算的基本方法(1)向量的数乘运算可类似于代数多项式的运算．例如实数运算中的去括号、移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的乘积中同样适用，但是在这里的“同类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．(2)向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方法求解，同时在运算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．　1.下列各式计算正确的个数是(　

37、　)①(－7)·6a＝－42a；②a－2b＋2(a＋b)＝3a；③a＋b－(a＋b)＝0.A．0　　B．1　C．2　　D．3解析：选C.根据向量数乘的运算律可验证①②正确；③错误，因为向量的和、差及数乘运算的结果仍为一个向量，而不是实数．122．若2－(b＋c－3x)＋b＝0，其中a，b，c为已知向量，求未知向量x.解：因为2x－a－b－c＋x＋b＝0，所以x－a＋b－c＝0，所以x＝a－b＋c，所以x＝a－b＋c.　数乘向量在平面几何中的应用[学生用书P40]　已知任意平面四边形ABCD中，E、F分别是AD、BC的中

38、点．求证：＝(＋)．【证明】　取以点A为起点的向量，应用三角形法则求证，如图．因为E为AD的中点，所以＝.因为F是BC的中点，所以＝(＋)．又因为＝＋，所以＝(＋＋)＝(＋)＋.所以＝－＝(＋)＋－＝(＋)．(1)证明＝(＋)可以用以下两种方法：①利用几个首尾顺次相接且能围成封闭图形的向量和为零向量这一特征，此法较简单，但思考容量