七数培优竞赛讲座第14讲 一次方程组的应用.doc

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1、第十四讲一次方程组的应用一次方程组是解决许多实际问题的有力工具，它被广泛地应用于社会生活的多个领域，主要体现在：首先，用于解代数式的化简与求值问题，一些表面与方程组无关的问题，但经过分析，借助有关概念、性质、对问题的理解，我们可通过建立一次方程组来解决．其次，用于解应用题，对于含有多个未知量的问题，我们运用方程组求解往往比单设一个未知数建立一元方程求解容易．一般说来，许多应用题既可用列方程来解，又可用列方程组来解，它们有各自的优缺点．因此，解题时需具体问题具体分析，当列方程比较困难时，可改用列方程组来解决问题．例题【例1】，则=．(广东省中

2、考题)思路点拨三个未知数两个等式x、y、z的值不惟一确定，不妨视其中一个字母为常数，解关于另外两个字母的方程组．【例2】方程的整数解的个数是()．A．1个B．2个C．3个D．4个(“五羊杯”邀请赛试题)思路点拨把1表示成两个非负整数的和，这两个数只能是0与l，于是一个等式可裂变为两个等式．注：当方程的个数少于未知数的个数时，未知数的值不能惟一确定，可视某个未知数为常量，实现变量与常量的互相转化，促使问题的解决．本例解法多样，可寻求待等式与已知式的关系，或设，重新联立解三元一次方程组，读者不妨一试．【例3】项王故里的门票价格规定如下表：购票人

3、数l～50人51～100人100人以上每人门票价5元4．5元4元某校初一甲、乙两班共103人(其中甲班人数多于乙班人数)去游项王故里，如果两班都以班为单位分别购票，一共需付486元．(1)如果两班联合起来，作为一个团体购票，则可以节约多少元钱?(2)两班各有多少名学生?(宿迁市中考题)思路点拨设甲班有x名学生，乙班有y名学生，则有以下三种可能情况：51≤x≤100，1≤y≤50；51≤x≤100，5l≤y≤100；x>100，1≤y≤50．故分类讨论是解本例的关键．【例4】某工程由甲、乙两队合做6天完成，厂家需付甲、乙两队共8700元；乙、

4、丙两队合做10天完成，厂家需支付乙、丙两队共9500元；甲、丙两队合做5天完成全部工程的，厂家需付甲、丙两队共5500元．现在厂家要求不超过15天完成全部工程，可由哪队单独完成此项工程花钱最少?请说明理由．(天津市中考题)思路点拨求出每队工作效率及每天需支付每队的费用，通过计算比较，进行正确的经济决策．【例5】某果晶商店进行组合销售，甲种搭配：2千克A水果，4千克6水果；乙种搭配：3千克A水果．8千克B水果，1千克C水果；丙种搭配：2千克A水果，6千克B水果，l千克C水果．已知A水果每千克2元，B水果每千克1．2元，C水果每千克10元．某天

5、该商店销售这三种搭配水果共441．2元．其中A水果的销售额为116元，问C水果的销售额为多少元?(全国初中数学联赛试题)思路点拨数据多、关系复杂是解本例的难点，运用表格可以帮助我们梳理复杂的数量关系，商店每天销售额与甲、乙、丙三种搭配的销量有关，故不宜直接设元，从求出甲、乙、丙三种搭配的套数人手，运用整体方法求解．注：现代社会信息化社会，各种信息以各种不同的方式出现在人们面前，用表格的形式．给出已知信息，是近年中考应用题的新特点，解速类问题的关键是：(1)从表头中了解对象，从表列(行)中得到数据；(2)处理数据，寻找隐含的规律．在信息化社会

6、，我们时刻面对著汹涌而来的各种数字、数据，对数据进行恰当分析处理，发现规律，作出判断，是现代人必备的基本素养．【例6】两辆汽车从同一地点同时出发，沿同一方向同速直线前进，每车最多能带24桶汽油，每桶汽油可以使一辆车前进60km，两车都必须返回出发地点，但可以不同时返回，两车均可以借对方的油，为了使一辆车尽可能地远离出发点，另一辆车应该在离出发点km的地方返回．思路点拨要使甲车尽量走远，应使两车分别时甲车装满24桶汽油，而乙车留下供两车返回时所用的油．设从开始出发到分别，甲、乙车各用了x桶油，则乙车应留下2x桶油，并借给甲车x桶油，使甲车装满

7、24桶油，依据题意，列方程x＋x＋2x=24．解得x=6．60×6=360(km)．所以，乙车应在离出发点360km处返回．注：解应用题关键在于挖掘题目隐舍的等量关系，用来列代数式或建立方程．【例7】甲、乙两人分别从A、B两地同时相向匀速前进，第一次相遇在距A点700m处，然后继续前进，甲到B地，乙到A地后都立即返回，第二次相遇在距B点400m处，求A、B两地间的距离是多少米?思路点拨设A、B两地间的距离是xm，第一次相遇甲走了700m，第一次相遇后到第二次相遇甲走了(x—700)+400=(x-300)m，因为甲、乙两入速度不变，甲、乙两

8、人第一次相遇共走了xm，第一次相遇后到第二次相遇两人共走了2xm，所用时间是第一次相遇所用时间的2倍，所以甲第一次相遇后到第二次相遇所走路程应为第一次相遇所走路程的2倍，即x-3