已知一点应力状态MPa.doc

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1、第一章1-10.已知一点的应力状态MPa,试求该应力空间中的斜截面上的正应力和切应力为多少?解:若平面方程为Ax+By+Cz+D=0,则方向余弦为:,,因此:,;Sx=σxl+τxym+τxzn=Sy=τxyl+σym+τzyn=Sz=τxzl+τyzm+σzn=1-11已知OXYZ坐标系中,物体内某点的坐标为(4,3,-12),其应力张量为:,求出主应力,应力偏量及球张量,八面体应力。解:=100+50-10=140=100×50+50×(-10)+100×(-10)-402-(-20)2-302=600==-1

2、92000σ1=122.2,σ2=31.7,σ3=49.5σm=140/3=46.7σ8=σm=46.71-12设物体内的应力场为,,,,试求系数c1,c2,c3。解:由应力平衡方程的:即:(1)(2)有(1)可知:因为x与y为任意实数且为平方,要使(1)为零,必须使其系数项为零,因此,-6-3c2=0(3)3c1-c3=0(4)联立(2)、(3)和(4)式得:即:c1=1,c2=-2,c3=31-13.已知受力物体内一点应力张量为:求外法线方向余弦为l=m=,n=的斜截面上的全应力、主应力和剪应力。解:Sx=σx

3、l+τxym+τxzn=Sy=τxyl+σym+τzyn=Sz=τxzl+τyzm+σzn=S=111.7J1=20J2=16025J3=-806250σ3-20σ2-16025σ+806250=0方程具有三个不相等的实根!σ1=-138.2,σ2=99.6,σ3=58.61-13.在直角坐标系中,已知物体内某点的应力张量为a)MPa;b)MPa;c)MPa1)画出该点的应力单元体;2)求出该点的应力不变量,主应力和主方向、主剪应力、最大剪应力、八面体应力、等效应力、应力偏张量及球张量。解:a)点的应力单元体如下图

4、2)a)MPa该点的应力不变量:J1=10MPa,J2=200MPa,J3=0MPa,主应力和主方向:σ1=20MPa,l=m=0;n=σ2=-10MPa,l=m=n=0σ3=0MPa,l=m=0;n=主剪应力τ12=±15MPa;τ23=±5MPa;τ12=±10MPa最大剪应力τmax=15MPa八面体应力σ8=3.3MPa;τ8=12.47MPa。等效应力MPa应力偏张量及球张量。MPa;MPa;b)点的应力单元体如下图MPa该点的应力不变量:J1=10MPa,J2=2500MPa,J3=500MPa,主应力

5、和主方向:σ1=10MPa,l=m=n=0σ2=50MPa,l=m=n=0;σ3=-50MPa,l=m=n=0。主剪应力τ12=±20MPa;τ23=±50MPa;τ12=±30MPa最大剪应力τmax=30MPa八面体应力σ8=3.3MPa;τ8=41.1MPa。等效应力MPa应力偏张量及球张量。MPa;MPa;c)点的应力单元体如下图MPa该点的应力不变量:J1=-18MPa,J2=33MPa,J3=230MPa,主应力和主方向:σ1=10MPa,l=m=n=0σ2=50MPa,l=m=n=0;σ3=-50MP

6、a,l=m=n=0。主剪应力τ12=±20MPa;τ23=±50MPa;τ12=±30MPa最大剪应力τmax=30MPa八面体应力σ8=-6MPa;τ8=9.7MPa。等效应力=20.6MPa应力偏张量及球张量。;1-19.平板在x方向均匀拉伸(图1-23),在板上每一点=常数,试问为多大时,等效应力为最小?并求其最小值。图1-23(题19)解:等效应力:令,要使等效应力最小,必须使y值最小,两边微分得:等效应力最小值:1-20.在平面塑性变形条件下,塑性区一点在与x轴交成θ角的一个平面上,其正应力为σ(σ<0)

7、,切应力为τ,且为最大切应力K,如图1-24所示。试画出该点的应力莫尔圆,并求出在y方向上的正应力σy及切应力τxy,且将σy﹑τyz及σx、τxy所在平面标注在应力莫尔圆上。图1-24(题20)解:由题意得知塑性区一点在与x轴交成θ角的一个平面上的切应力为为最大切应力K,因此可以判断该平面为主剪平面,又由于切应力方向为逆时针,因此切应力为负,其位置为应力莫尔圆的最下方,该点的应力莫尔圆如图1-25所示。图1-25第二章2-9.设,其中a、b为常数,试问上述应变场在什么情况下成立?解:对求y的2次偏导,即:(1)对

8、求x的2次偏导,即:(2)对求x和y的偏导,即:(3)带(1)、(2)和(3)入变形协调方程(4),得:(4)即:时上述应变场成立。2-10试判断下列应变场是否存在?(1),,,,,(2),,,,(1)解:对、和分别求x、y或z的2次偏导,对、和分别求x、y和z的2次偏导,则:,;(a),;(b),;(c),;(d)将(a)、(b)、(c)和(d)代入变形协

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