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1、建模与估计讲义（二）主讲人：王欣第三节新息序列(Innovationsequence)定义:设(相关随机序列正交化)有二阶矩(数学期望、方差都 ）的随机序列，定义它的新息序列为：定义:基于k-1以前信息对y(k)的线性最小方差估计则规定:定理1：新息序列是正交序列（白噪声）证：射影具有无偏性i≠j不妨设i〉j根据射影性质定理2:证明:显然注意事实上:重要意义:新息序列与原序列y(k)含有相同的统计信息新息实质上是摄影误差定理3:递推射影公式证明:考虑线性离散定常随机系统①②其中状态x(t)∈,
2、观测y(t)∈,w(t)∈输入噪声.观测噪声v(t)∈假设1:w(t)和v(t)是零均值,方差阵各为Q和R的独立白噪声即:第四节kalman滤波假设2:x(0)与w(t)和v(t)相互独立Kalman滤波问题是基于观测(y(1)…y(t))求状态x(j)的线性最小方差估计极小化即求滤波平滑预报分析:有递推射影公式k(t+1)称为滤波增益对①取射影因为事实上新息:引入定义:即得即即注意:简化:即:总结:考虑随机系统问题:基于观测求KalmanFilter初值协方差阵回忆:考虑随机系统问题:基于观测
3、求定理:KalmanFilter第四节初值:协方差阵例1:已知及求解:注1:Kalman滤波的和预报器的不同形式封闭形式:滤波器预报增益预报器注2:Riccati方程即:初值:注3:时变系统Kalman方程组同样适用有Kalman方程组初值:注4:Kalman滤波与RLS关系(RLS是K的特例)考虑AR(N)可写成状态空间模型应用KalmanFilter定义：具有RLS公式注5：稳态Kalman滤波和预报器（steady-statekalmanfilterandpred！ctor）Kalman方
4、程组缺点：需要在线（on-line）实时（realtime）计算p问题：P（t+1
5、t）?→∑（t→∞）定常系统即hp为常阵定理：设系统是完全可观、完全可控或是稳定阵即：HrankH=nrank[pp…*n-1p]=nH*2…H*n-1则任意p(t+1
6、t)=∑它满足Riccati方程∑=[∑-∑H*T(H∑H*H+R)*(-1)H∑]*T+PQP*T且有关系k（t）=kp（t
7、t）=pk=∑H[H∑H*T+R]*-1∑=p*T=PQP*Tp=[㏑-KH]∑稳态Kalman滤波和预报器为x(t+
8、1
9、t+1)=x(t
10、t)+ky(t+1)=[㏑-KH]x(t+1
11、t)=x(t
12、t-1)+y(t)=[㏑-KH]=k注释：可证为稳定阵因而x(t
13、t),x(t+
14、t)是渐近稳定的。即可任意选取初值x(0
15、0)，或（0
16、0）例：考虑一维系统x(t+1)=x(t)+bw(t)y(t)=hx(t)+v(t)Q=*2=qR=*2=r求稳态kalman滤波器和预报器x(t+1
17、t)x(t+1
18、t+1)=x(t
19、t)+ky(t+1)=(1-kh)x(t+1
20、t)=x(t
21、t)-1+y(t)=-kph=kR
22、iccati方程∑=[∑-∑h（h∑h+r）*-1h∑]+bqb=*2[∑-∑h*2(h*2+r)*-1]+b*2q=*2[∑(h*2∑+r)-∑*2h*2]/[h*2∑+r]+b*2q∑(h*2∑+r)=*2∑r+b*2q(h*2∑+r)h*2∑*2+∑r=*2∑r+b*2qh*2∑+b*2qrh*2∑*2+(r-*2r-b*2h*2q)∑-b*2qr=0作一元二次方程，取∑〉0为GT为第五讲ARMA时间序列预报（ARMATimeseriesprediction)Forcasting1、引言预
23、报问题：气象、水文、经济系统、控制最优预报，稳态线性最小方差预报稳态：=－∞，已知无穷的观测历史线性预报：y(t+k
24、t)∈L(y(t)y(t-1)…)是以前历史的线性组合最小方差：minJ=E[(y(t+k)-y(t+k
25、t))*2]y(t+k
26、t)Box-Jenkins递推预报器.考虑平稳可逆的ARMA过程y(t).A(q*－1)y(t)=c(q*－1)e(t)其中e(t)是白噪声：Ee(t)=0E[e(t)e(s)]=*2A(q*－1)=1+q*－1+……+q*－C(q*－1)=1+q*－
27、1+……+q*－已知（y(t)y(t-1)…）求y(t+k
28、t)分析：.平稳性：y(t)=[c(q*－1)/A(q*－1)]e(t)=e(t-j)可逆性：e(t)=[A(q*－1)/C(q*－1)]y(t)=y(t-j)故：L(y(t)y(t-1)…)=L(e(t)e(t-1)…)∴y(t+k
29、t)=proj(y(t+k)
30、y(t)y(t-1)…)=proj(y(t+k)
31、e(t)e(t-1)…)历史：1wiener-kdmogorov预报方法（1940、ARMA(p、q)=MACLO）2Box
