常微分方程模型及其数值解.ppt

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1、常微分方程数值解杨瑞琰0、导　　言在许多实际问题中，例如物理中的速率问题，人口的增长问题，放射性衰变问题，经济学中的边际问题等，常常涉及到两个变量之间的变化规律。微分方程是研究上述问题的一种机理分析方法，它在科技、工程、生态、环境、人口以及经济管理等领域中有着十分广泛的应用。在应用微分方程解决实际问题时，必须经过两个阶段。一是微分方程的建立，建立一个微分方程的实质就是构建函数、自变量以及函数对自变量的导数之间的一种平衡关系。而正确地构建这种平衡关系，需要对实际问题的深入浅出的刻画，根据物理的和非物理的原理、定律或定理，作出合理的假设和简化并将它升华成数学问题。另一个是方程的求解和结果

2、分析。对一些常系数的或特殊函数形式的微分方程，往往能得到解析解，这对实际问题的分析和应用都是有利的,但是大多数变系数的、非线性函数形式的微分方程都是求不出解析解的,此时就需要应用求解微分方程的另一个重要方法──数值解法。本章简要介绍有关微分方程模型的概念，微分方程的数值解法和图解法，主要介绍若干建模实例，通过它们展示微分方程模型的建模步骤及解决实际问题的全过程。1、实例及其数学模型例1海上缉私问题海防某部缉私艇上的雷达发现正东方向c海里处有一艘走私船正以速度a向正北方向行驶，缉私艇立即以最大速度b前往拦截。用雷达进行跟踪时，可保持缉私艇的速度方向始终指向走私船。建立任意时刻缉私艇的位

3、置和缉私艇航线的数学模型，讨论缉私艇能够追上走私船的条件，求出追上的时间。建立直角坐标系如图，设在t=0时刻缉私艇发现走私船，此时缉私艇的位置在(0,0)，走私船的位置在(c,0)。走私船以速度a平行于y轴正向行驶，缉私艇以速度b按指向走私船的方向行驶。在任意时刻t缉私艇位于P(x,y)点，而走私船到达Q(c,at)点，直线PQ与缉私艇航线（图中曲线）相切，切线与x轴正向夹角为。Q(c,at)P(x,y)R(c,y)0yxc缉私艇在x,y方向的速度分别为，由直角三角形PQR写出sin和cos的表达式，得到微分方程：（1）初始条件为（2）这就是缉私艇位置(x(t),y(t))的

4、数学模型。但是由方程（1）无法得到x(t),y(t)的解析解，需要用数值算法求解。我们将在后面继续讨论这个问题。例2弱肉强食问题自然界中在同一环境下的两个种群之间存在着几种不同的生存方式，比如相互竞争，即争夺同样的食物资源，造成一个种群趋于灭绝，而另一个趋向环境资源容许的最大容量；或者相互依存，即彼此提供部分食物资源，二者和平共处，趋于一种平衡状态；再有一种关系可称之为弱肉强食，即某个种群甲靠丰富的自然资源生存，而另一种群乙靠捕食种群甲为生，种群甲称为食饵（Prey），种群乙为捕食者（Predator），二者组成食饵-捕食者系统。海洋中的食用鱼和软骨鱼（鲨鱼等）、美洲兔和山猫、落叶松

5、和蚜虫等都是这种生存方式的典型。这样两个种群的数量是如何演变的呢？近百年来许多数学家和生态学家对这一系统进行了深入的研究，建立了一系列数学模型，本节介绍的是最初的、最简单的一个模型，它是意大利数学家Volterra在上个世纪20年代建立的。模型用x(t)表示时刻t食饵（如食用鱼）的密度，即一定区域内的数量，y(t)表示捕食者（如鲨鱼）的密度。假设食饵独立生存时的（相对）增长率为常数r>0，即，而捕食者的存在使食饵的增长率减小，设减小量与捕食者密度成正比，比例系数为a>0，则。捕食者离开食饵无法生存，设它独自存在时死亡率为常数d>0，即，而食饵的存在为捕食者提供了食物，使捕食者的死亡率

6、减小，设减小量与食饵密度成正比，比例系数为b>0，则，实际上，当bx>d时捕食者密度将增长。给定食饵和捕食者密度的初始值x0,y0，由上可知x(t),y(t)满足以下方程：（3）（3）的解x(t),y(t)描述了食饵和捕食者密度随时间的演变过程。但是我们同样得不到x(t),y(t)的解析解，需要用数值算法求解。我们将在§3继续讨论这个问题§2欧拉方法和龙格—库塔方法一阶常微分方程初值问题的一般形式为y=(x,y),axb(4)y(a)=其中(x,y)是已知函数,为给定的初值.如果函数(x,y)在区域axb,-

7、中L>0为Lipschitz常数,则初值问题(4)有唯一解.所谓数值解法,就是设法将常微分方程离散化,建立差分方程,给出解在一些离散点上的近似值.a=x0