对弧长的曲线积分课件.ppt

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1、一、对弧长的曲线积分的概念与性质二、对弧长的曲线积分的计算§9.5对弧长的曲线积分把曲线弧L分成n个小段s1s2sn(si也表示弧长)一、对弧长的曲线积分的概念与性质曲线形构件的质量设曲线形构件所占的位置在xOy面内的一段曲线弧L上已知曲线形构件在点(xy)处的线密度为(xy)任取(ii)si得第i小段质量的近似值(ii)si令max{s1s2sn}0则整个曲线形构件的质量为整个曲线形构件的质量近似为一、对弧长的曲线积分的概念与性质设曲线形构件所占的位置在

2、xOy面内的一段曲线弧L上已知曲线形构件在点(xy)处的线密度为(xy)曲线形构件的质量把曲线弧L分成n个小段s1s2sn(si也表示弧长)任取(ii)si得第i小段质量的近似值(ii)si将L任意分成n个小弧段s1s2sn(si也表示第i个小弧段的长度)在每个小弧段si上任取一点(ii)作和对弧长的曲线积分设L为xOy面内的一条光滑曲线弧函数f(xy)在L上有界如果当max{s1s2sn}0时这和的极限总存在则称

3、此极限为函数f(xy)在曲线弧L上对弧长的曲线积分记作其中f(xy)叫做被积函数L叫做积分弧段>>>光滑曲线对弧长的曲线积分说明当函数f(xy)在光滑曲线弧L上连续时函数f(xy)在曲线弧L上对弧长的曲线积分是存在的以后我们总假定f(xy)在L上是连续的对弧长的曲线积分也称为第一类曲线积分曲线形构件的质量就是曲线积分的值类似地可以定义函数f(xyz)在空间曲线弧上对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分如果L(或)是分段光滑的则规定函数在L(或)上的曲线积分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和例如设L

4、可分成两段光滑曲线弧L1及L2则规定函数f(xy)在闭曲线L上对弧长的曲线积分记作说明对弧长的曲线积分的性质性质1设c1、c2为常数则性质2若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧L1和L2则性质3设在L上f(xy)g(xy)则特别地有提示二、对弧长的曲线积分的计算根据对弧长的曲线积分的定义如果曲线形构件L的线密度为f(xy)则曲线形构件L的质量为另一方面如果曲线L是光滑的其参数方程为x(t)y(t)(t)则曲线形构件L的质量为曲线形构件L的质量元素为二、对弧长的曲线积分的计算根据对弧长的曲线

5、积分的定义如果曲线形构件L的线密度为f(xy)则曲线形构件L的质量为另一方面如果曲线L是光滑的其参数方程为x(t)y(t)(t)则曲线形构件L的质量为二、对弧长的曲线积分的计算定理设f(xy)在曲线弧L上有定义且连续L的参数方程为x(t)y(t)(t)其中(t)、(t)在[]上具有一阶连续导数且2(t)2(t)0应注意的问题定积分的下限一定要小于上限设曲线L的参数方程为x(t)y(t)(t)则讨论提示(1)L的参数方程为xx

6、y(x)(axb)设曲线L的参数方程为x(t)y(t)(t)则讨论提示(2)L的参数方程为x(y)yy(cyd)设曲线L的参数方程为x(t)y(t)(t)则讨论(3)若曲线的参数方程为x(t)y(t)z(t)(t)提示设曲线L的参数方程为x(t)y(t)(t)则B(11)之间的一段弧曲线L的参数方程为xxyx2(0x1)因此解例2计算半径为R、中心角为2的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量I(设线密度为

7、1)取坐标系如图所示则曲线L的参数方程为解设曲线L的参数方程为x(t)y(t)(t)则xRcosyRsin()于是所求转动惯量I为提示转动惯量的元素为dIy2dsy2ds例2计算半径为R、中心角为2的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量I(设线密度为1)取坐标系如图所示则曲线L的参数方程为解设曲线L的参数方程为x(t)y(t)(t)则于是所求转动惯量I为xRcosyRsin()xacost、yasint、zkt上相应于t从0到达

8、2的一段弧解x2y2z2(acost)2(asint)2(kt)2a2k2t2在曲线上有并且xacost、yasint、zkt上相应于t从0到达2的一段弧解在曲