对弧长曲线积分12版课件.ppt

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1、Chapter11第十一章曲线积分与曲面积分1积分学定积分二重积分三重积分积分域区间平面域空间域曲线积分曲线弧曲面域曲线积分曲面积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分曲面积分2第一节对弧长的曲线积分Chapter11一、对弧长的曲线积分的概念与性质二、对弧长的曲线积分的计算法3一、对弧长的曲线积分的概念与性质假设曲线形细长构件在xoy面上所占弧段为AB,现计算此构件的质量。1.引例:曲线形构件的质量其线密度为4对于匀质之质量，分割求和取极限近似值精确值一、对弧长的曲线积分的概念与性质

2、1.引例:曲线形构件的质量对于非匀质之质量，51.定义6被积函数积分弧段积分和式曲线形构件的质量2.存在条件：3.推广74.性质（,为常数)(L由组成)(l为曲线弧L的长度)如果L是闭曲线,则记为8二、对弧长的曲线积分的计算法基本思路:计算定积分转化定理:且上的连续函数,证:是定义在光滑曲线弧则曲线积分求曲线积分根据定义9点设各分点对应参数为对应参数为则10则因此11说明:因此积分限必须满足(2)注意到因此上述计算公式相当于“换元法”.因此12如果曲线L的方程为则有如果方程为极坐标形式:则推广:设空间曲线弧的参数

3、方程为则13三、几何与物理意义14例1.计算其中L是抛物线与点B(1,1)之间的一段弧.解:上点O(0,0)15例2.计算半径为R,中心角为的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量I(设线密度=1).解:建立坐标系如图,则16例3.计算曲线积分其中为螺旋的一段弧.解:线17例4.计算其中为球面解:化为参数方程则18例5.计算其中为球面被平面所截的圆周.解:由对称性可知19P190习题5修改.设均匀螺旋形弹簧L的方程为(1)求它关于z轴的转动惯量(2)求它的质心.解:设其密度为ρ(常数).(2)L的质量而(1)故重心坐

4、标为20内容小结1.定义2.性质(l曲线弧的长度)213.计算•对光滑曲线弧•对光滑曲线弧•对光滑曲线弧22思考与练习1.已知椭圆周长为a,求提示:原式=利用对称性分析:23作业P1903(3),(4),(6),(7)524备用题1.设C是由极坐标系下曲线及所围区域的边界,求提示:分段积分252.L为球面标面的交线,求其形心坐标.在第一卦限与三个坐解:如图所示,交线长度为由对称性,形心坐标为26例3.计算其中L为双纽线解:在极坐标系下它在第一象限部分为利用对称性,得27思考:例4中改为计算解:令,则圆的形心在原

5、点,故,如何利用形心公式28