实验数学九：确定炮弹射击的安全区.ppt

《实验数学九：确定炮弹射击的安全区.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、确定炮弹射击的安全区9.1实验目的本实验涉及微积分和微分方程。通过实验复习曲线的参数方程及其求导、复合函数微商法、微分方程的建立及求解和某些二次曲面等知识；另外通过两个实际问题介绍平面单参数曲线族包络线的概念及其应用。9.2实验问题炮兵在进行射击演习时，必须考虑建立安全区的问题。如果炮弹的发射速度为，发射角度则不加限制。试通过分析弹道曲线来获得射击演习的安全区。Ⅰ、弹道曲线1设炮弹发射的位置为原点O。显然，只要在过点O且与地面垂直的平面内考察弹道的情况就可以了。在此平面建立坐标系。如果不计空气阻力，容易得到炮弹的弹道曲线满足下微分方程组：2初值条件：其中m为炮弹的质量，g为重力

2、加速度，为炮弹在t时刻的坐标，为炮弹初速度，为发射角对（9.1）积分两次，并将（9.2）代入，即可导出弹道曲线的参数方程为3消去参数t，可以得到弹道曲线的直角坐标的表达式：这是我们十分熟悉的抛物线。Ⅱ、安全区和包络线当发射角变化时，取就形成一族抛物线段（见图9.2）。所以，（9.3）或（9.4）可以看作是带有参数的平面曲线族。，相应的弹道曲线4由图可见，所有的弹道曲线与图上的一条虚线l相切，将这虚线绕y轴旋转一定的角度（炮座所能旋转的角度），形成一个旋转面的一部分。由这张曲面以及炮座旋转的左右两个极限位置发出的弹道曲线所在平面围成的区域之外炮弹不可能击中，因而称之为“安全区”，

3、l也就称为“安全曲线”。如何求出l呢？从图还可见，安全线本身并不是某一条弹道曲线，但是安全线上的每一点，必有某一条也只有一条弹道曲线在该点与它相切。5抽象成数学概念，我们称安全线为弹道曲线族的包络线。Ⅲ、问题1的求解设某一平面曲线族为，其中为参数。其包络线l如图9.3所示。在l上任取一点，必有曲线族中某一条曲线c与l相切于点p。也就是说，一旦确定了参数值，点p也被唯一地确定。6所以，点p的坐标是参数的函数，即它们满足由式（9.5）知，l在点p的切线斜率为而c在点p的切线斜率为7令以上二者相等，可得将（9.6）式对求导数，得到将（9.9）式代入（9.10）式，即得综合（9.6）式

4、与（9.11）式，得到l应满足的方程组：8下面我们利用（9.12）来考察（9.4）式，对求导解出代入（9.4），即得安全线方程9这也是一条抛物线，其最大值和与x正半轴交点的横坐标分别为若取z轴与x、y轴成空间直角坐标系，则安全线所形成的旋转面为以及代入，即得10于是射击演习的安全区就由此旋转抛物面与两个过y轴的平面围成。由上式或（9.15）式可知，演习时炮弹的高度将不超过2041（m），射程将不超过4082（m）。如果曲线族的参数方程形式已给出，则类似可推出其包络线l应满足的判别方程组为：11事实上对于包络线所以对于曲线C所以因此即有12下面我们再用（9.17）来考察（9.3）

5、式，利用（9.17）中的第三式解得代回式（9.3），又得到l的参数方程：13消去此式中的，同样可得（9.14）式。注意，（9.12）或（9.17）是包络线的判别方程，即包络线应满足（9.12）或（9.17）式；但满足判别方程却不一定是曲线族的包络线。反例见讲义149.3实验任务1，215