基本初等函数及函数的应用.ppt

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1、第3讲　基本初等函数及函数的应用要点知识整合2．指数函数与对数函数互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称，指数函数与对数函数的性质见下表：指数函数y＝ax对数函数y＝logax定义域(－∞，＋∞)(0，＋∞)值域(0，＋∞)(－∞，＋∞)不变性恒过定点(0,1)恒过定点(1,0)增减性a>1时为增函01时为增函数，00且a≠1)f－1(x)＝ax(a>0且a≠1)图象特征图象始终在x轴上方图象

2、始终在y轴右侧3.函数与方程(1)函数的零点对于函数f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数f(x)的零点．(2)零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)·f(b)<0，那么函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点，即存在c∈(a，b)使得f(c)＝0.注意以下两点：①满足条件的零点可能不唯一；②不满足条件时，也可能有零点．题型一二次函数的图象与性质热点突破探究典例精析例1设二次函数f(x)＝x2＋x＋c(c＞0)，若f(x)＝0有两个实数根x1

3、、x2(x1＜x2)．(1)求正实数c的取值范围；(2)求x2－x1的取值范围；(3)如果存在一个实数m，使f(m)＜0，求证：m＋1＞x2.【题后拓展】理清二次函数、一元二次方程及一元二次不等式之间的关系：(1)Δ<0⇔f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴无交点⇔ax2＋bx＋c＝0无实根⇔ax2＋bx＋c>0(<0)的解集为∅或R；(2)Δ＝0⇔f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴相切⇔ax2＋bx＋c＝0有两个相等的实根；(3)Δ>0⇔f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的

4、图象与x轴有两个不同的交点⇔ax2＋bx＋c＝0有两个不等的实根．变式训练1．已知函数f(x)＝x2＋bx＋c(b，c∈R)，且x≤1时，f(x)≥0,1≤x≤3时，f(x)≤0恒成立．(1)求b，c之间的关系．(2)当c>－1时，是否存在实数m使得g(x)＝f(x)－m2x在区间(0，＋∞)上是单调递增函数？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由．题型二指数、对数函数的性质例2(3)法二是充分利用函数f(x)的性质，对定义域{x

5、x>a或x<0}内的x排除了x<0后，寻找f(x)＝1是解题的关键

6、．变式训练题型三函数的零点例3由图象知零点存在于区间(1，e)内．【答案】D【题后归纳】函数零点(方程的根)的确定问题，常见的类型有：(1)零点或零点存在区间的确定；(2)零点个数的确定；(3)两函数图象交点的横坐标或有几个交点的确定．解决这类问题的常用方法有：解方程法、利用零点存在的判定或数形结合法，尤其是那些方程两端对应的函数类型不同的方程多以数形结合法求解．变式训练3．函数f(x)＝mx2－2x＋1有且仅有一个正实数的零点，则实数m的取值范围是()A．(－∞，1]B．(－∞，0]∪{1}C．(－∞

7、，0)∪(0,1]D．(－∞，1)解析：选B.当m＝0时，x＝为函数的零点；当m≠0时，若Δ＝0，即m＝1时，x＝1是函数惟一的零点，若Δ≠0，显然x＝0不是函数的零点，这样函数有且仅有一个正实数零点等价于方程mx2－2x＋1＝0有一个正根和一个负根，即mf(0)<0，即m<0.故选B.题型四函数的实际应用例4(1)将2010年该产品的利润y(万元)表示为年促销费用m(万元)的函数；(2)该厂家2010年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？【题后拓展】函数应用主要是指运用函数的定义域、值域、单调性

8、、奇偶性以及用函数的图象解决函数的综合问题，注意运用函数知识解决贴近生产、生活、科研中的实际问题．函数应用主要体现函数与方程的思想、等价转换的思想、数形结合的思想、分类讨论的思想等数学思想的综合运用，以及函数知识与其他数学知识的综合运用．(1)把年利润表示为年产量x(百件)(x≥0)的函数f(x)；(2)当年产量为多少件时，公司可获得最大年利润？变式训练方法突破例设y＝(log2x)2＋(t－2)log2x－t＋1，若t在[－2,2]上变化时，y恒取正值，求x的取值范围．【解】　设y＝f(t)＝(log

9、2x－1)t＋(log2x)2－2log2x＋1，则f(t)是一次函数，当t∈[－2,2]时，f(t)>0恒成立．【题后点评】本题表面上看是有限制条件的函数的定义域问题，但如果换一个角度来考虑，由于t在[－2,2]上变化，我们则可以把y看作是t的函数，而此时是关于t的一次函数，原命题的陈述方式改变：关于t的一次函数y，当自变量t在[－2,2]上变化时，y恒大于零，求字母x的取值范围，从而达到解题的目的．本题为常量与变量的转化，即在处理多元问