2020届新高考数学二轮微专题突破12 函数的单调性的研究(解析版).docx

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1、专题12函数的单调性的研究一、题型选讲题型一求函数的单调区间利用导数求函数单调区间的步骤：（1）确定函数的定义域（2）求出的导函数（3）令（或），求出的解集，即为的单调增（或减）区间（4）列出表格例1、求函数的单调区间解：令，即解不等式，解得↘↗↘的增单调区间为，减区间为，例2、(2019南京学情调研）已知函数f(x)＝lnx，g(x)＝x2.(1)求过原点(0，0)，且与函数f(x)的图像相切的直线l的方程；(2)若a>0，求函数φ(x)＝

2、g(x)－2a2f(x)

3、在区间规范解答(1)因为f(x)＝lnx，所以f′(x)＝(x＞0)．12/12设直线l与函数f(x)的图像相切于点(x0，y

4、0)，则直线l的方程为y－y0＝(x－x0)，即y－lnx0＝(x－x0).(3分)因为直线l经过点(0，0)，所以0－lnx0＝(0－x0)，即lnx0＝1，解得x0＝e.因此直线l的方程为y＝x，即x－ey＝0.(6分)(2)考察函数H(x)＝g(x)－2a2f(x)＝x2－2a2lnx.H′(x)＝2x－＝(x≥1)．因为a＞0，故由H′(x)＝0，解得x＝a.(8分)①当0＜a≤1时，H′(x)≥0在(11分)②当a＞1时，H(x)在区间（01）上递减，在区间为递增区间(16分)题型二给定区间的单调性已知在某区间的单调性求参数范围问题，其思路为通过导数将问题转化成为不等式恒成立或不等式

5、能成立问题，进而求解，要注意已知函数单调递增（减）时，其导函数（），勿忘等号。例3、(2018无锡期末）若函数f(x)＝(x＋1)2

6、x－a

7、在区间[－1，2]上单调递增，则实数a的取值范围是________．【答案】(－∞，－1]∪　【解析】由于条件中函数的解析式比较复杂，可以先通过代数变形，将其化为熟悉的形式，进而利用导数研究函数的性质及图像，再根据图像变换的知识得到函数f(x)的图像进行求解．函数f(x)＝(x＋1)2

8、x－a

9、＝

10、(x＋1)2(x－a)

11、＝

12、x3＋(2－a)x2＋(1－2a)x－a

13、.令g(x)＝x3＋(2－a)x2＋(1－2a)x－a，则12/12g′(x)＝3x2＋

14、(4－2a)x＋1－2a＝(x＋1)(3x＋1－2a)．令g′(x)＝0得x1＝－1，x2＝.①当<－1，即a<－1时，令g′(x)>0，即(x＋1)(3x＋1－2a)>0，解得x<或x>－1；令g′(x)<0，解得

15、(x＋1)3

16、，函数f(x)图像如图2，则f(x)的单调增区间是(－1，＋∞)，单调减区间是(－∞，－1)，

17、满足条件，故a＝－1.,图2)③当>－1，即a>－1时，令g′(x)>0，即(x＋1)(3x＋1－2a)>0，解得x<－1或x>；令g′(x)<0，解得－1－1，故a≥(此种情况函数f(x)图像如图3)．综上，实数a的取值范围是(－∞，－1]∪.,图3)例4、(2018苏州暑假测试）已知函数f(x)＝(ax2＋x)ex，其中e是自然对数的底数，a∈

18、R.(1)若f′(x)是函数f(x)的导函数，当a>0时，解关于x的不等式f′(x)>ex；(2)若f(x)在[－1，1]上是单调递增函数，求a的取值范围；第(2)问，因为f(x)在[－1，1]上是单调增函数，所以导函数f′(x)＝[ax2＋(2a＋1)x＋1]·ex≥0在[－1，1]上恒成立，而二次三项式“ax2＋(2a＋1)x＋1”不可因式分解，故需从a＝0(a>0，a<0)，和Δ>0(Δ＝0，Δ<0)入手分类讨论，幸运的是本题的Δ＝(2a＋1)2－4a＝4a2＋1>0，故仅需对a进行分类讨论规范解答(1)f′(x)＝[ax2＋(2a＋1)x＋1]·ex.不等式f′(x)>ex可化为[ax

19、2＋(2a＋1)x]·ex>0，(2分)因为ex>0，故有ax2＋(2a＋1)x>0.当a>0时，不等式f′(x)>ex的解集是(－∞，－)∪(0，＋∞)．(4分)(2)由(1)得f′(x)＝[ax2＋(2a＋1)x＋1]·ex，①当a＝0时，f′(x)＝(x＋1)ex，f′(x)≥0在[－1，1]上恒成立，当且仅当x＝－1时取等号，故a＝0符合要求；(6分)②当a≠0时，令g(x)＝ax2＋(2