高考数学讲义2.4 幂函数与二次函数.doc

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1、§2.4　幂函数与二次函数最新考纲考情考向分析1.了解幂函数的概念．2.结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的图象，了解它们的变化情况．3.理解并掌握二次函数的定义，图象及性质．4.能用二次函数，方程，不等式之间的关系解决简单问题.以幂函数的图象与性质的应用为主，常与指数函数、对数函数交汇命题；以二次函数的图象与性质的应用为主，常与方程、不等式等知识交汇命题，着重考查函数与方程，转化与化归及数形结合思想，题型一般为选择、填空题，中档难度.　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)常见的5

2、种幂函数的图象(3)常见的5种幂函数的性质函数　特征　性质　y＝xy＝x2y＝x3y＝y＝x－1定义域RRR[0，＋∞){x

3、x∈R，且x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y

4、y∈R，且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇2.二次函数(1)二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．(2)二次函数的图象和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)图象定义域(－∞，＋∞)(

5、－∞，＋∞)值域单调性在x∈上单调递减；在x∈上单调递增在x∈上单调递增；在x∈上单调递减对称性函数的图象关于x＝－对称知识拓展1．幂函数的图象和性质(1)幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会出现在第四象限，至于是否出现在第二、三象限内，要看函数的奇偶性．(2)幂函数的图象过定点(1,1)，如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．(3)当α＞0时，y＝xα在[0，＋∞)上为增函数；当α＜0时，y＝xα在(0，＋∞)上为减函数．2．若f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，则当时恒有f(x)>0，当时，恒有f(x)<0.题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√

6、”或“×”)(1)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是.(　×　)(2)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈R不可能是偶函数．(　×　)(3)在y＝ax2＋bx＋c(a≠0)中，a决定了图象的开口方向和在同一直角坐标系中的开口大小．(　√　)(4)函数y＝2是幂函数．(　×　)(5)如果幂函数的图象与坐标轴相交，则交点一定是原点．(　√　)(6)当n<0时，幂函数y＝xn是定义域上的减函数．(　×　)题组二　教材改编2．[P79T1]已知幂函数f(x)＝k·xα的图象过点，则k＋α等于(　　)A.B．1C.D．2答案　C解析　由幂函数的定义，知∴k＝1，α＝.∴k＋α＝.

7、3．[P44A组T9]已知函数f(x)＝x2＋4ax在区间(－∞，6)内单调递减，则a的取值范围是(　　)A．a≥3B．a≤3C．a＜－3D．a≤－3答案　D解析　函数f(x)＝x2＋4ax的图象是开口向上的抛物线，其对称轴是x＝－2a，由函数在区间(－∞，6)内单调递减可知，区间(－∞，6)应在直线x＝－2a的左侧，∴－2a≥6，解得a≤－3，故选D.题组三　易错自纠4．幂函数f(x)＝(a∈Z)为偶函数，且f(x)在区间(0，＋∞)上是减函数，则a等于(　　)A．3B．4C．5D．6答案　C解析　因为a2－10a＋23＝(a－5)2－2，f(x)＝(a∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞

8、)上是减函数，所以(a－5)2－2<0，从而a＝4,5,6，又(a－5)2－2为偶数，所以只能是a＝5，故选C.5．已知函数y＝ax2＋bx＋c，如果a>b>c且a＋b＋c＝0，则它的图象可能是(　　)答案　D解析　由a＋b＋c＝0和a>b>c知，a>0，c<0，由c<0，排除A，B，又a>0，排除C.6．已知函数y＝x2－2x＋3在闭区间[0，m]上有最大值3，最小值2，则m的取值范围为_____．答案　[1,2]解析　如图，由图象可知m的取值范围是[1,2]．题型一　幂函数的图象和性质1．幂函数y＝f(x)经过点(3，)，则f(x)是(　　)A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数B．偶

9、函数，且在(0，＋∞)上是减函数C．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数答案　D解析　设幂函数的解析式为y＝xα，将(3，)代入解析式得3α＝，解得α＝，∴y＝，故选D.2．若四个幂函数y＝xa，y＝xb，y＝xc，y＝xd在同一坐标系中的图象如图所示，则a，b，c，d的大小关系是(　　)A．d＞c＞b＞aB．a＞b＞c＞dC．d＞c＞a＞bD．a＞b＞d＞c答案　B解析　由幂函