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1、第一讲：集合一、元素与集合的关系1．已知集合A={p
2、},求一次函数的取值范围。2．已知集合A={}，B={}，且,求实数m的取值范围.3．已知集合,,求实数a,b的值.4．已知集合分别就下列条件求a的取值范围.(1)(2)5．关于实数的不等式
3、
4、,与的解集分别为A,B,求使得的的取值范围.6．若求分别满足下列条件的m的取值范围(1),(2)7．已知集合若是单元素集合,求实数m的取值范围.1．,是平面xoy内的点集,讨论是否存在a,b使得,且().9.设集合,求10.已知集合：问（1）当取何值时，为含有两个元素的集合？（
5、2）当取何值时，为含有三个元素的集合？解：=。与分别为方程组（Ⅰ）（Ⅱ）的解集。由（Ⅰ）解得（）=（0，1）=（，）；由（Ⅱ）解得（）=（1，0），（，）（1）使恰有两个元素的情况只有两种可能：①②由①解得=0；由②解得=1。故=0或1时，恰有两个元素。（2）使恰有三个元素的情况是：=解得，故当时，恰有三个元素。11.设函数，集合，。（1）证明：；(2)当时，求。(3)当只有一个元素时，求证：．解：（1）设任意∈，则＝.而故∈,所以.（1）因，所以解得故。由得解得＝{。12.设＝{
6、＝,}，求证：（1）∈()；（2）分析
7、：如果集合＝{
8、具有性质}，那么判断对象是否是集合的元素的基本方法就是检验是否具有性质。解：（1）∵,∈且＝,故∈；（2）假设，则存在，使＝即(*)由于与具有相同的奇偶性，所以（*）式左边有且仅有两种可能：奇数或4的倍数，另一方面，（*）式右边只能被4除余2的数，故（*）式不能成立。由此，。13.设集合＝（－3，2）。已知，＞,,判断＝与集合的关系。分析：解决本题的关键在于由已知条件确定的取值范围，从而利用对数函数的单调性确定＝的范围。解：因为且，＞，所以＜由此及得=3,从而=2.所以－3＜＝,即∈。14.以某些整数为元
9、素的集合具有下列性质：①中的元素有正数，有负数；②中的元素有奇数,有偶数；③－1；④若，∈,则＋∈试判断实数0和2与集合的关系。解：由④若，∈,则＋∈可知，若∈，则（1）由①可设，∈，且＞0，＜0，则－＝
10、
11、(
12、
13、∈)故,－∈,由④,0＝(－)+∈。（2）2。若2∈，则中的负数全为偶数，不然的话，当－（）∈（）时，－1＝（－）＋∈，与③矛盾。于是，由②知中必有正奇数。设，我们取适当正整数，使，则负奇数。前后矛盾。15.设为满足下列条件的有理数的集合：①若∈，∈，则+∈，；②对任一个有理数，三个关系∈，－∈，＝0有且仅有一
14、个成立。证明：是由全体正有理数组成的集合。证明：设任意的∈，≠0,由②知∈，或－∈之一成立。再由①，若∈，则；若－∈，则。总之，。取=1，则1∈。再由①，2=1+1∈，3=1+2∈，…，可知全体正整数都属于。设，由①，又由前证知，所以∈。因此，含有全体正有理数。再由①知，0及全体负有理数不属于。即是由全体正有理数组成的集合。16.为非空集合，对于1，2，3的任意一个排列，若，则（1）证明：三个集合中至少有两个相等。（2）三个集合中是否可能有两个集无公共元素？证明：（1）若，则所以每个集合中均有非负元素。当三个集合中的元素
15、都为零时，命题显然成立。否则，设中的最小正元素为，不妨设，设为中最小的非负元素，不妨设则－∈。若＞0,则0≤－＜，与的取法矛盾。所以=0。任取因0∈,故－0＝∈。所以，同理。所以=。17．已知集合，求该集合具有下列性质的子集个数：每个子集至少含有2个元素，且每个子集中任两个元素的差的绝对值大于1.（1996年上海市数学竞赛）解：设为集合的具有题设性质的子集个数，则的具有题设性质的子集可分为两类：第一类不含，这样的子集有个；第二类子集含有，这类子集或为的相应子集或与的并，共有个，于是得：.显然，.∴，，，，.18.设且≥1
16、5，都是{1，2，3，…，}真子集，，且={1，2，3，…，}。证明：或者中必有两个不同数的和为完全平方数。证明：由题设，{1，2，3，…，}的任何元素必属于且只属于它的真子集之一。假设结论不真，则存在如题设的{1，2，3，…，}的真子集，使得无论是还是中的任两个不同的数的和都不是完全平方数。不妨设1∈，则3，否则1+3=，与假设矛盾，所以3∈。同样6，所以6∈，这时10，，即10∈。因≥15，而15或者在中，或者在中，但当15∈时，因1∈，1+15=，矛盾；当15∈时，因10∈，于是有10+15=，仍然矛盾。因此假设不
17、真。即结论成立。二、集合中元素个数问题19.已知对任意实数，函数都有定义，且.如果，求证A是无限集.（1994年江苏省高中数学竞赛试题）分析：必须找出无穷多个，使.解：在中：令，可得，所以.故，这样必有一个非0的实数，使，即.由已知条件：，即：.同理：均是A的元素.所以A是无限集.评析：要证明一个集合是无限集，只要A
