大学线性代数第五章习题答案.doc

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1、第五章：相似矩阵及二次型第一节：向量的内积，长度及正交性1.B；2.1；3.A=。4（1）-9；（2）05．6（1）不是；（2）是7．设所求为,由题意：得或8.证明：由题意有于是同理..所以也是的一组标准正交基.9．将标准正交化.令.再令，则为所求.10．证明：由为正交阵，有.于是第二节：方阵的特征值与特征向量一选择题：cccb二填空题：1.6；2.（个），；3.，的特征值为，的特征值为6，3，2；4.120，的特征值为4，5，6，的特征值为.5.6.。三.计算题1.求下列矩阵的特征值和特征向量：（1）（2）（3）（4）2．由题意有于是3．因为.

2、所以或.当时7由于有3个不同的特征值，故应线性无关.而时，得到线性相关，故.当时可以验证此时线性无关，故.因为，.即，于是.4．对两边取行列式得由，得，并且可逆.由知再由得即.于是得是的一个特征值.因此是的一个特征值.5.6．是的特征向量，也是的特征向量，设所对应的特征值为，则.即得得.得或.四．证明题1．证明：由.于是有.所以是的一个特征值.2．证明：由.并且，知0是的一个特征值.3、1)，因而是的特征值.2)，即个等式相加得.第三节：相似矩阵一．选择题BCDDDD二．计算题1.与相似，则.即令得，即.令得，从而.的特征值为.相应的特征向量分别

3、为.令，则.2．与相似，则即，得.的特征值为.对应于2的两个线性无关的特征向量.对应于6的特征向量.令，则可逆，且.3．因为是特征值，故.由.知是的二重特征值，而.所以不能对角化.4．由知，的全部特征值是，互不相同，故相似于由其特征值组成的对角阵.由于时，，有特征向量；时，，有特征向量；……时，，有特征向量.故有，即故得可逆阵，有.第四节：对称矩阵的对角化1.b23.的特征值为.由可相似对角化，有.（以（1E-A）作为系数矩阵的方程组有2个自由未知量，故）而于是得.4．的特征值为由为对称阵.可以对角化，即存在可逆阵.使.于是5由与相似，有.即即比

4、较系数得显然为的特征值.对应的特征向量为.将其单位化得令，则为正交阵.并且.6．与相似，有.可得.再由，又得.显然0，1，2为的特征值.相应的特征向量为.将其单位化得.令，则为正交阵，并且.7．利用实对称阵属于不同特征值的特征向量正交，求出属于特征值1的两个线性无关的特征向量为.令，则8.先求的特征值，=，当时，由得，的对应于2的特征向量是，当时，有得，的对应于的特征向量是，当时，有得，的对应于的特征向量是，取..令，则，所以.第五节：二次型及其标准型1.2．33.b4.将下列二次型用矩阵形式表示：（1）（2）（3）5.当为何值时，二次型的秩为2

5、.6.（1）（2），所以的特征值为，，当时，由得对应于5的特征向量，当时，由得对应于的特征向量，.取，，，令，则为正交矩阵，且，因此，所求的正交变换为，并且7.，，（1）所以的特征值为，，，由得对应于的特征向量，由得对应于的特征向量，由得对应于的特征向量，取，，，令，则得所求的正交变换即且（2）根据（1）知，所以.8.．由的标准形为，故的特征值为.故令，则解之.由此对于有可得的两个正交的特征向量对于，可得的特征向量为将特征向量单位化得则为正交矩阵，正交变换为.注：因特征向量选择的不同，正交矩阵不惟一.9.二次型的矩阵为.，因而的全体特征值为，二次

6、型的标准形为.下面求正交线性替换矩阵.，因而标准正交特征向量组为，正交线性替换矩阵为.注属于特征值的特征向量组第六节：用配方法化二次型为标准型1.用配方法把下列二次型化为标准型：（1）（2）2．将括号展开，合并同类项有令即则可逆变换为在此可逆线性变换下的标准形为27．3．先用配方法求解（1）令即令则二次型经可逆线性变换化成标准形若再令即令则原二次型经可逆线性变换化成规范形（2）先作线性变换原二次型化成令即令，则原二次型经可逆线性变换化成标准形若再令即令则原二次型经可逆线性变换化成规范形用初等变换法求解（1）设令，则原二次型经过可逆线性变换化成标准

7、形二次型经过可逆线性变换化成规范形（2）设令，则原二次型经过可逆线性变换化成标准形二次型经过可逆线性变换化成规范形4．先用配方法求解（1）令即令则二次型经可逆线性变换化成标准形若再令即令原二次型经可逆线性变换化成规范形（2）令即令则二次型经可逆线性变换化成标准形若再令即令原二次型经可逆线性变换化成规范形.用初等变换法求解（1）设令则原二次型经过可逆线性变换化成标准形二次型经过可逆线性变换化成规范形（2）设令则原二次型可经可逆线性变换化成标准形可经可逆线性变换化成规范形用正交变换法求解（1）的矩阵为，由，知的特征值为1,2,5.对，解，得，取，单位

8、化对，解，得，取对解，得，取，单位化得，令，则为正交阵，经正交变换，原二次型化为（2）的矩阵为由知的特征值为.对，解得取单位化得，对，解