高考数学总复习 基础知识 第七章 第六节椭圆(二) 理.doc

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1、第六节　椭　圆　(二)基础自测1．已知方程＋＝1表示焦点在y轴上的椭圆，则实数k的取值范围是(　　)A.B．(1，＋∞)C．(1,2)D.解析：依题意，2k－1＞2－k＞0，解得1＜k＜2.故选C.答案：C2．(2013·湖南郴州模拟)设e是椭圆＋＝1的离心率，且e∈，则实数k的取值范围是(　　)A．(0,3)　B.C．(0,3)∪　D．(0,2)解析：当k>4时，c＝，由条件知<<1，解得k>；当0b>0)的一个

2、顶点作圆x2＋y2＝b2的两条切线，切点分别为A，B，若∠AOB＝90°(O为坐标原点)，则椭圆C的离心率为________．解析：∵∠AOB＝90°，∴∠AOF＝45°.∴＝.∴e2＝＝＝1－＝，即e＝.答案：4．若直线mx＋ny＝4与⊙O：x2＋y2＝4没有交点，则过点P(m，n)的直线与椭圆＋＝1的交点个数是__________．解析：因为直线mx＋ny＝4与圆x2＋y2＝4没有交点，所以>2，所以m2＋n2<4.所以点P(m，n)在椭圆＋＝1内部．所以交点个数为2个．答案：21．(2012·新课标

3、全国卷)设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1(a＞b＞0)的左、右焦点，P为直线x＝上一点，△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则E的离心率为(　　)A.B.C.D.解析：设直线x＝与x轴交于点D，∵△F2PF1是底角为30°的等腰三角形，则有

4、F2F1

5、＝

6、F2P

7、，∴∠PF1F2＝30°.∴∠PF2D＝60°，∠DPF2＝30°.∴

8、F2D

9、＝

10、PF2

11、＝

12、F1F2

13、，即－c＝×2c＝c，∴＝2c，即＝.∴椭圆的离心率为e＝.故选C.答案：C2．(2013·安徽卷)设椭圆E：＋＝1的焦点在x轴上．(1

14、)若椭圆E的焦距为1，求椭圆E的方程；(2)设F1，F2分别是椭圆E的左、右焦点，P为椭圆E上第一象限内的点，直线F2P交y轴于点Q，并且F1P⊥F1Q.证明：当a变化时，点P在某定直线上．(1)解析：因为焦距为1，所以2a2－1＝，解得a2＝.故椭圆E的方程为＋＝1.(2)证明：设P(x0，y0)，F1(－c,0)，F2(c,0)，其中c＝.由题设知x0≠c，则直线F1P的斜率kF1P＝.直线F2P的斜率kF2P＝.故直线F2P的方程为y＝(x－c)．当x＝0时，y＝，即点Q坐标为.因此，直线F1Q的斜

15、率为kF1Q＝.由于F1P⊥F1Q，所以kF1P·kF1Q＝·＝－1.化简得y＝x－(2a2－1)．*将*代入椭圆E的方程，由于点P(x0，y0)在第一象限．解得x0＝a2，y0＝1－a2.即点P在定直线x＋y＝1上．1．以O为中心，F1，F2为两个焦点的椭圆上存在一点M，满足

16、

17、＝2

18、

19、＝2

20、

21、，则该椭圆的离心率为(　　)A.B.C.D.解析：易知点M在OF2的垂直平分线上，过M作x轴的垂线，交x轴于点N，则点N坐标为，并设

22、

23、＝2

24、

25、＝2

26、

27、＝2t，根据勾股定理可知，

28、

29、2－

30、

31、2＝

32、

33、2－

34、

35、2，得

36、到c＝t，由

37、MF1

38、＋

39、MF2

40、＝2a得a＝，则e＝＝.故选C.答案：C2．(2013·潮州二模)设椭圆＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别为A(－2,0)，B(2,0)，离心率e＝.过该椭圆上任一点P作PQ⊥x轴，垂足为Q，点C在QP的延长线上，且

41、QP

42、＝

43、PC

44、.(1)求椭圆的方程；(2)求动点C的轨迹E的方程；(3)设直线AC(C点不同于A，B)与直线x＝2交于点R，D为线段RB的中点，试判断直线CD与曲线E的位置关系，并证明你的结论．解析：(1)由题意，可得a＝2，e＝＝，可得c＝，所以b2＝

45、a2－c2＝1，因此，椭圆的方程为＋y2＝1.(2)设C(x，y)，P(x0，y0)，由题意得即又＋y＝1，代入得＋2＝1，即x2＋y2＝4.即动点C的轨迹E的方程为x2＋y2＝4.(3)设C(m，n)，点R的坐标为(2，t)，因为A、C、R三点共线，所以∥，而＝(m＋2，n)，＝(4，t)，则4n＝t(m＋2)，所以t＝，可得点R的坐标为，点D的坐标为，所以直线CD的斜率为k＝＝，而m2＋n2＝4，所以m2＝4－n2，代入可得k＝＝－，所以直线CD的方程为y－n＝－(x－m)，化简得mx＋ny－4＝0，

46、所以圆心O到直线CD的距离d＝＝＝2＝r，因此，直线CD与圆O相切，即CD与曲线E相切．