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《高考数学大一轮复习 1.1集合的概念与运算学案 理 苏教版.doc》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第一章 集合与常用逻辑用语学案1集合的概念与运算导学目标:1.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.2.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.3.理解两个集合的并集与交集的含义,会求两个简单集合的并集与交集.4.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,会求给定子集的补集.5.能使用Venn图表达集合的关系及运算.自主梳理1.集合元素的三个特征:确定性、互异性、无序性.2.元素与集合的关系是属于或不属于关系,用符号∈或表示.3.集合的表示法:列举法、描述法、图示法、区间法.4.集合间的基本关系对任意的x∈A,都有x∈B,则A⊆B
2、(或B⊇A).若A⊆B,且在B中至少有一个元素x∈B,但xA,则AB(或BA).若A⊆B且B⊆A,则A=B.5.集合的运算及性质设集合A,B,则A∩B={x
3、x∈A且x∈B},A∪B={x
4、x∈A或x∈B}.设全集为S,则∁SA={x
5、x∈S且xA}.A∩∅=∅,A∩B⊆A,A∩B⊆B,A∩B=A⇔A⊆B.A∪∅=A,A∪B⊇A,A∪B⊇B,A∪B=B⇔A⊆B.A∩∁UA=∅;A∪∁UA=U.自我检测1.(2011·无锡高三检测)下列集合表示同一集合的是________(填序号).①M={(3,2)},N={(2,3)};②M={(x,y)
6、x+y=1},N={y
7、
8、x+y=1};③M={4,5},N={5,4};④M={1,2},N={(1,2)}.答案 ③2.(2009·辽宁改编)已知集合M={x
9、-310、-511、-312、-313、y=x2-1,x∈R},集合N={x14、y=,x∈R},则M15、∩N=________.答案 [-1,3]解析 ∵y=x2-1≥-1,∴M=[-1,+∞).又∵y=,∴9-x2≥0.∴N=[-3,3].∴M∩N=[-1,3].5.已知集合A={1,3,a},B={1,a2-a+1},且B⊆A,则a=________.答案 -1或2解析 由a2-a+1=3,∴a=-1或a=2,经检验符合.由a2-a+1=a,得a=1,但集合中有相同元素,舍去,故a=-1或2.探究点一 集合的基本概念例1 若a,b∈R,集合{1,a+b,a}={0,,b},求b-a的值.解题导引 解决该类问题的基本方法为:利用集合中元素的特点,列出方程组求解,但解出后16、应注意检验,看所得结果是否符合元素的互异性.解 由{1,a+b,a}={0,,b}可知a≠0,则只能a+b=0,则有以下对应法则:① 或②由①得符合题意;②无解.∴b-a=2.变式迁移1 设集合A={1,a,b},B={a,a2,ab},且A=B,求实数a,b.解 由元素的互异性知,a≠1,b≠1,a≠0,又由A=B,得或解得a=-1,b=0.探究点二 集合间的关系例2 设集合M={x17、x=5-4a+a2,a∈R},N={y18、y=4b2+4b+2,b∈R},则M与N之间有什么关系?解题导引 一般地,对于较为复杂的两个或两个以上的集合,要判断它们之间的关系,应先确定集合中19、元素的形式是数还是点或其他,属性如何.然后将所给集合化简整理,弄清每个集合中的元素个数或范围,再判断它们之间的关系.解 集合M={x20、x=5-4a+a2,a∈R}={x21、x=(a-2)2+1,a∈R}={x22、x≥1},N={y23、y=4b2+4b+2,b∈R}={y24、y=(2b+1)2+1,b∈R}={y25、y≥1}.∴M=N.变式迁移2 设集合P={m26、-127、mx2+4mx-4<0对任意实数x恒成立,且m∈R},则集合P与Q之间的关系为________.答案 PQ解析 P={m28、-129、-130、.∴PQ.探究点三 集合的运算例3 设全集是实数集R,A={x31、2x2-7x+3≤0},B={x32、x2+a<0}.(1)当a=-4时,求A∩B和A∪B;(2)若(∁RA)∩B=B,求实数a的取值范围.解题导引 解决含参数问题的集合运算,首先要理清题目要求,看清集合间存在的相互关系,注意分类讨论、数形结合思想的应用以及空集的特殊性.解 (1)A={x33、≤x≤3}.当a=-4时,B={x34、-235、≤x<2},A∪B={x36、-237、x<或x>3}.当(∁RA)∩B=B时,B⊆∁RA,即A∩B
10、-511、-312、-313、y=x2-1,x∈R},集合N={x14、y=,x∈R},则M15、∩N=________.答案 [-1,3]解析 ∵y=x2-1≥-1,∴M=[-1,+∞).又∵y=,∴9-x2≥0.∴N=[-3,3].∴M∩N=[-1,3].5.已知集合A={1,3,a},B={1,a2-a+1},且B⊆A,则a=________.答案 -1或2解析 由a2-a+1=3,∴a=-1或a=2,经检验符合.由a2-a+1=a,得a=1,但集合中有相同元素,舍去,故a=-1或2.探究点一 集合的基本概念例1 若a,b∈R,集合{1,a+b,a}={0,,b},求b-a的值.解题导引 解决该类问题的基本方法为:利用集合中元素的特点,列出方程组求解,但解出后16、应注意检验,看所得结果是否符合元素的互异性.解 由{1,a+b,a}={0,,b}可知a≠0,则只能a+b=0,则有以下对应法则:① 或②由①得符合题意;②无解.∴b-a=2.变式迁移1 设集合A={1,a,b},B={a,a2,ab},且A=B,求实数a,b.解 由元素的互异性知,a≠1,b≠1,a≠0,又由A=B,得或解得a=-1,b=0.探究点二 集合间的关系例2 设集合M={x17、x=5-4a+a2,a∈R},N={y18、y=4b2+4b+2,b∈R},则M与N之间有什么关系?解题导引 一般地,对于较为复杂的两个或两个以上的集合,要判断它们之间的关系,应先确定集合中19、元素的形式是数还是点或其他,属性如何.然后将所给集合化简整理,弄清每个集合中的元素个数或范围,再判断它们之间的关系.解 集合M={x20、x=5-4a+a2,a∈R}={x21、x=(a-2)2+1,a∈R}={x22、x≥1},N={y23、y=4b2+4b+2,b∈R}={y24、y=(2b+1)2+1,b∈R}={y25、y≥1}.∴M=N.变式迁移2 设集合P={m26、-127、mx2+4mx-4<0对任意实数x恒成立,且m∈R},则集合P与Q之间的关系为________.答案 PQ解析 P={m28、-129、-130、.∴PQ.探究点三 集合的运算例3 设全集是实数集R,A={x31、2x2-7x+3≤0},B={x32、x2+a<0}.(1)当a=-4时,求A∩B和A∪B;(2)若(∁RA)∩B=B,求实数a的取值范围.解题导引 解决含参数问题的集合运算,首先要理清题目要求,看清集合间存在的相互关系,注意分类讨论、数形结合思想的应用以及空集的特殊性.解 (1)A={x33、≤x≤3}.当a=-4时,B={x34、-235、≤x<2},A∪B={x36、-237、x<或x>3}.当(∁RA)∩B=B时,B⊆∁RA,即A∩B
11、-312、-313、y=x2-1,x∈R},集合N={x14、y=,x∈R},则M15、∩N=________.答案 [-1,3]解析 ∵y=x2-1≥-1,∴M=[-1,+∞).又∵y=,∴9-x2≥0.∴N=[-3,3].∴M∩N=[-1,3].5.已知集合A={1,3,a},B={1,a2-a+1},且B⊆A,则a=________.答案 -1或2解析 由a2-a+1=3,∴a=-1或a=2,经检验符合.由a2-a+1=a,得a=1,但集合中有相同元素,舍去,故a=-1或2.探究点一 集合的基本概念例1 若a,b∈R,集合{1,a+b,a}={0,,b},求b-a的值.解题导引 解决该类问题的基本方法为:利用集合中元素的特点,列出方程组求解,但解出后16、应注意检验,看所得结果是否符合元素的互异性.解 由{1,a+b,a}={0,,b}可知a≠0,则只能a+b=0,则有以下对应法则:① 或②由①得符合题意;②无解.∴b-a=2.变式迁移1 设集合A={1,a,b},B={a,a2,ab},且A=B,求实数a,b.解 由元素的互异性知,a≠1,b≠1,a≠0,又由A=B,得或解得a=-1,b=0.探究点二 集合间的关系例2 设集合M={x17、x=5-4a+a2,a∈R},N={y18、y=4b2+4b+2,b∈R},则M与N之间有什么关系?解题导引 一般地,对于较为复杂的两个或两个以上的集合,要判断它们之间的关系,应先确定集合中19、元素的形式是数还是点或其他,属性如何.然后将所给集合化简整理,弄清每个集合中的元素个数或范围,再判断它们之间的关系.解 集合M={x20、x=5-4a+a2,a∈R}={x21、x=(a-2)2+1,a∈R}={x22、x≥1},N={y23、y=4b2+4b+2,b∈R}={y24、y=(2b+1)2+1,b∈R}={y25、y≥1}.∴M=N.变式迁移2 设集合P={m26、-127、mx2+4mx-4<0对任意实数x恒成立,且m∈R},则集合P与Q之间的关系为________.答案 PQ解析 P={m28、-129、-130、.∴PQ.探究点三 集合的运算例3 设全集是实数集R,A={x31、2x2-7x+3≤0},B={x32、x2+a<0}.(1)当a=-4时,求A∩B和A∪B;(2)若(∁RA)∩B=B,求实数a的取值范围.解题导引 解决含参数问题的集合运算,首先要理清题目要求,看清集合间存在的相互关系,注意分类讨论、数形结合思想的应用以及空集的特殊性.解 (1)A={x33、≤x≤3}.当a=-4时,B={x34、-235、≤x<2},A∪B={x36、-237、x<或x>3}.当(∁RA)∩B=B时,B⊆∁RA,即A∩B
12、-313、y=x2-1,x∈R},集合N={x14、y=,x∈R},则M15、∩N=________.答案 [-1,3]解析 ∵y=x2-1≥-1,∴M=[-1,+∞).又∵y=,∴9-x2≥0.∴N=[-3,3].∴M∩N=[-1,3].5.已知集合A={1,3,a},B={1,a2-a+1},且B⊆A,则a=________.答案 -1或2解析 由a2-a+1=3,∴a=-1或a=2,经检验符合.由a2-a+1=a,得a=1,但集合中有相同元素,舍去,故a=-1或2.探究点一 集合的基本概念例1 若a,b∈R,集合{1,a+b,a}={0,,b},求b-a的值.解题导引 解决该类问题的基本方法为:利用集合中元素的特点,列出方程组求解,但解出后16、应注意检验,看所得结果是否符合元素的互异性.解 由{1,a+b,a}={0,,b}可知a≠0,则只能a+b=0,则有以下对应法则:① 或②由①得符合题意;②无解.∴b-a=2.变式迁移1 设集合A={1,a,b},B={a,a2,ab},且A=B,求实数a,b.解 由元素的互异性知,a≠1,b≠1,a≠0,又由A=B,得或解得a=-1,b=0.探究点二 集合间的关系例2 设集合M={x17、x=5-4a+a2,a∈R},N={y18、y=4b2+4b+2,b∈R},则M与N之间有什么关系?解题导引 一般地,对于较为复杂的两个或两个以上的集合,要判断它们之间的关系,应先确定集合中19、元素的形式是数还是点或其他,属性如何.然后将所给集合化简整理,弄清每个集合中的元素个数或范围,再判断它们之间的关系.解 集合M={x20、x=5-4a+a2,a∈R}={x21、x=(a-2)2+1,a∈R}={x22、x≥1},N={y23、y=4b2+4b+2,b∈R}={y24、y=(2b+1)2+1,b∈R}={y25、y≥1}.∴M=N.变式迁移2 设集合P={m26、-127、mx2+4mx-4<0对任意实数x恒成立,且m∈R},则集合P与Q之间的关系为________.答案 PQ解析 P={m28、-129、-130、.∴PQ.探究点三 集合的运算例3 设全集是实数集R,A={x31、2x2-7x+3≤0},B={x32、x2+a<0}.(1)当a=-4时,求A∩B和A∪B;(2)若(∁RA)∩B=B,求实数a的取值范围.解题导引 解决含参数问题的集合运算,首先要理清题目要求,看清集合间存在的相互关系,注意分类讨论、数形结合思想的应用以及空集的特殊性.解 (1)A={x33、≤x≤3}.当a=-4时,B={x34、-235、≤x<2},A∪B={x36、-237、x<或x>3}.当(∁RA)∩B=B时,B⊆∁RA,即A∩B
13、y=x2-1,x∈R},集合N={x
14、y=,x∈R},则M
15、∩N=________.答案 [-1,3]解析 ∵y=x2-1≥-1,∴M=[-1,+∞).又∵y=,∴9-x2≥0.∴N=[-3,3].∴M∩N=[-1,3].5.已知集合A={1,3,a},B={1,a2-a+1},且B⊆A,则a=________.答案 -1或2解析 由a2-a+1=3,∴a=-1或a=2,经检验符合.由a2-a+1=a,得a=1,但集合中有相同元素,舍去,故a=-1或2.探究点一 集合的基本概念例1 若a,b∈R,集合{1,a+b,a}={0,,b},求b-a的值.解题导引 解决该类问题的基本方法为:利用集合中元素的特点,列出方程组求解,但解出后
16、应注意检验,看所得结果是否符合元素的互异性.解 由{1,a+b,a}={0,,b}可知a≠0,则只能a+b=0,则有以下对应法则:① 或②由①得符合题意;②无解.∴b-a=2.变式迁移1 设集合A={1,a,b},B={a,a2,ab},且A=B,求实数a,b.解 由元素的互异性知,a≠1,b≠1,a≠0,又由A=B,得或解得a=-1,b=0.探究点二 集合间的关系例2 设集合M={x
17、x=5-4a+a2,a∈R},N={y
18、y=4b2+4b+2,b∈R},则M与N之间有什么关系?解题导引 一般地,对于较为复杂的两个或两个以上的集合,要判断它们之间的关系,应先确定集合中
19、元素的形式是数还是点或其他,属性如何.然后将所给集合化简整理,弄清每个集合中的元素个数或范围,再判断它们之间的关系.解 集合M={x
20、x=5-4a+a2,a∈R}={x
21、x=(a-2)2+1,a∈R}={x
22、x≥1},N={y
23、y=4b2+4b+2,b∈R}={y
24、y=(2b+1)2+1,b∈R}={y
25、y≥1}.∴M=N.变式迁移2 设集合P={m
26、-127、mx2+4mx-4<0对任意实数x恒成立,且m∈R},则集合P与Q之间的关系为________.答案 PQ解析 P={m28、-129、-130、.∴PQ.探究点三 集合的运算例3 设全集是实数集R,A={x31、2x2-7x+3≤0},B={x32、x2+a<0}.(1)当a=-4时,求A∩B和A∪B;(2)若(∁RA)∩B=B,求实数a的取值范围.解题导引 解决含参数问题的集合运算,首先要理清题目要求,看清集合间存在的相互关系,注意分类讨论、数形结合思想的应用以及空集的特殊性.解 (1)A={x33、≤x≤3}.当a=-4时,B={x34、-235、≤x<2},A∪B={x36、-237、x<或x>3}.当(∁RA)∩B=B时,B⊆∁RA,即A∩B
27、mx2+4mx-4<0对任意实数x恒成立,且m∈R},则集合P与Q之间的关系为________.答案 PQ解析 P={m
28、-129、-130、.∴PQ.探究点三 集合的运算例3 设全集是实数集R,A={x31、2x2-7x+3≤0},B={x32、x2+a<0}.(1)当a=-4时,求A∩B和A∪B;(2)若(∁RA)∩B=B,求实数a的取值范围.解题导引 解决含参数问题的集合运算,首先要理清题目要求,看清集合间存在的相互关系,注意分类讨论、数形结合思想的应用以及空集的特殊性.解 (1)A={x33、≤x≤3}.当a=-4时,B={x34、-235、≤x<2},A∪B={x36、-237、x<或x>3}.当(∁RA)∩B=B时,B⊆∁RA,即A∩B
29、-130、.∴PQ.探究点三 集合的运算例3 设全集是实数集R,A={x31、2x2-7x+3≤0},B={x32、x2+a<0}.(1)当a=-4时,求A∩B和A∪B;(2)若(∁RA)∩B=B,求实数a的取值范围.解题导引 解决含参数问题的集合运算,首先要理清题目要求,看清集合间存在的相互关系,注意分类讨论、数形结合思想的应用以及空集的特殊性.解 (1)A={x33、≤x≤3}.当a=-4时,B={x34、-235、≤x<2},A∪B={x36、-237、x<或x>3}.当(∁RA)∩B=B时,B⊆∁RA,即A∩B
30、.∴PQ.探究点三 集合的运算例3 设全集是实数集R,A={x
31、2x2-7x+3≤0},B={x
32、x2+a<0}.(1)当a=-4时,求A∩B和A∪B;(2)若(∁RA)∩B=B,求实数a的取值范围.解题导引 解决含参数问题的集合运算,首先要理清题目要求,看清集合间存在的相互关系,注意分类讨论、数形结合思想的应用以及空集的特殊性.解 (1)A={x
33、≤x≤3}.当a=-4时,B={x
34、-235、≤x<2},A∪B={x36、-237、x<或x>3}.当(∁RA)∩B=B时,B⊆∁RA,即A∩B
35、≤x<2},A∪B={x
36、-237、x<或x>3}.当(∁RA)∩B=B时,B⊆∁RA,即A∩B
37、x<或x>3}.当(∁RA)∩B=B时,B⊆∁RA,即A∩B
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