浅谈最值问题.doc

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1、浅谈最值问题1学情说明适用对象：对最值问题已有一定认知基础与分析能力的九年级学生。设计思想：一方面，最值问题是初中教学的一大难点，也是中考命题的知识综合的结合点和能力考查的区分点，素有“综合性强、难度大和区分度高”等典型特点；另一方面，专题复习主要用于中考的最后冲刺，目的在于掌握方法和提升能力。因此本着“突出重点、突破难点、立意在先、选题在后”的基本设计原则，所选例题兼顾了知识的覆盖率（详见教学设计中的标题）、问题的多样化（涵盖了“路程最短、周长最小、面积最大、造价最低、用时最短”等）和能力的发展性（以传授转化策略培养思维调控力、以教会“怎样想”提升问题分析力、以探究思路自然生成强

2、化学习力等），以便“有效构建知识网络，深度提炼思想方法和全面提升综合学力”。具体实施时可针对学情适度选取而因材施教，着重讲清“怎么想到这样做”，即从知识转化角度着重剖析解题思路自然的生成过程。教学目标：本专题分两课时两模块完成，第1课时为知识溯源模块，即从知识转化角度，借助例1~例5的讲解，引导学生掌握处理最值问题的四大基本知识源（见教学设计中的标题），明确解决最值问题的思考方向；第2课时为能力转化模块，即通过例6~例8的分析，着重训练学生运用基本知识源解题的转化技巧，调控受阻思维，拓宽解题思路，提升处理最值问题的综合能力。2教学设计第一课时本课时主要复习处理最值问题的知识源，明确

3、解题方向。2.1运用知识源“两点之间线段最短”处理例1　（2014年·黔东南州）如图1，在平面直角坐标系中，点P是直线y=x上的动点，A（1，0）、B（2，0）是x轴上两点，则PA+PB的最小值为。功能分析：掌握利用知识源“两点之间线段最短”和对称性处理“直线上一动点到直线同侧两定点距离之和最小值”问题的基本策略。解答要点：辅助线如图1所示，易知A1的坐标为（0，1），则PA+PB的最小值为A1B=。教学建议：本题求解并不难，着力点有二：其一怎么想到构造点A关于直线y=x的对称点A1（根据“两点之间线段最短”可知，当点P位于线段AB上时，其和最小；又点P在直线y=x上，所以点P应是

4、两者的交点。但A、B位于直线y=x的同侧，再者没有交点，故需利用线段的等量变换把两点转化到直线的两侧。而常见的等量变换有“平移”“翻折”和“旋转”，结合条件和图形特征，本题宜选择“翻折”，即作点A关于直线y=x对称点A1）；其二如何求︱PA-PB︱和︱PA1-PB︱的最大值（本变式主要强化对作对称点的必要性与本质的理解）。2．2运用知识源“垂线段最短”处理例2(2015年·绥化)如图2，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5。若点M、N分别是线段AC、AB上的两个动点，则BM+MN的最小值为（）A．10B．8C.D．6功能分析：在例1的基础上适度拓展，不仅可巩固上一知识源和解题方法

5、，而且也为培养学生运用“垂线段最短”处理最值问题的分析能力奠定了基础。解答要点：辅助线如图2所示，其中点B、B1关于AC对称，B1F⊥AB于点F，则BM+MN=B1M+MN≥B1N≥B1F。由S△ABC=BE•AC=AB•BC，得BE=，则BB1=。由勾股定理求得AE=和S△ABB1=AE•BB1=AB•B1F得B1F=8。故BM+MN的最小值为8，即选B。教学建议：与例1相比，本题的难点在于除动点M外点N也在运动，给解题制造了不小的障碍。教学中可先作“退化”处理，即把N视为定点，类比例1可作出点B关于AC的对称点B1，且得BM+MN≥B1N；再让N点动起来，则问题转化为“求直线上

6、一动点到直线外一定点距离的最小值”，根据知识源“垂线段最短”，作AB的垂线B1F也就水到渠成了。另外，如何求B1F的长是本题的另一大难点。课堂上可依托方程思想，引导学生利用垂直与对称挖掘相等关系，构建方程（组）。当然本题也可用相似三角形对应边成比例列方程（组）求BE和B1F的值。2.3运用知识源“平面内一点与圆上各点连线中，到过该点和圆心的直线与圆的近交点距离最短、远交点距离最长”处理例3(2015年·武汉)如图3，△ABC、△EFG是边长为2的等边三角形，点D是边BC、EF的中点，直线AG、FC相交于点M。当△EFG绕点D旋转时，线段BM长的最小值是（）A．2-B．+1C．D．-

7、1功能分析：培养学生解决平面内圆上动点与非圆上定点间距离最值问题的能力。解答要点：辅助线如图4所示，由DC=DF、DA=DG得，又∠CDF=∠ADG，故△DCF∽△DAG，得∠DCF=∠DAG，则∠DAG+∠DCM=180°。又∠ADC=90°，所以∠AMC=90°，故点M的轨迹是以AC为直径的⊙O。联结BO，交⊙O于N点，则BM≥BN。又由等边三角形的性质可得BO=，所以BM的最小值为-1，故选D。教学建议：本题确定点M的轨迹形状是难点，一旦确定其轨迹为圆后求最小值