2020年高考数学二轮微专题突专题34 数列中的奇偶性问题（解析版）.docx

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1、专题34数列中的奇偶性问题一、题型选讲题型一、与奇偶性有关讨论求含参问题含参问题最常用的方法就是把参数独立出来，要独立出来就要除以一个因式，此因式的正负与n的奇偶性有关，因此要对n进行奇偶性的讨论。例1、(2015扬州期末）设数列{an}的前n项和为Sn，且an＝4＋n－1，若对任意n∈N*，都有1≤p(Sn－4n)≤3，则实数p的取值范围是________．答案：[2,3]　求参数的常用方法是分离参数，所以首先将参数p进行分离，从而将问题转化为求函数f(n)＝Sn－4n的最大值与最小值，再注意到题中含有n－1，涉及负数的乘方，所以需对n进行分类讨论．令f(n)＝Sn－4n＝4n＋－4n＝

2、.当n为奇数时，f(n)＝单调递减，则当n＝1时，f(n)max＝1；当n为偶数时，f(n)＝单调递增，由当n＝2时，f(n)min＝.又≤p≤，所以2≤p≤3.本题的本质是研究数列的最值问题，因此，研究数列的单调性就是一个必要的过程，需要注意的是，由于本题是离散型的函数问题，所以，要注意解题的规范性，“当n为奇数时，f(n)＝，单调递减，此时f(n)∈；当n为偶数时，f(n)＝，单调递增，此时f(n)∈”的写法是不正确的，因为f(n)并不能取到∪＝内的所有值．例2、(2019苏州三市、苏北四市二调）已知数列{an}的各项均不为零．设数列{an}的前n项和为Sn，数列{a}的前n项和为Tn

3、，且3S－4Sn＋Tn＝0，n∈N*.(1)求a1，a2的值；(2)证明：数列{an}是等比数列；(3)若(λ－nan)(λ－nan＋1)<0对任意的n∈N*恒成立，求实数λ的所有值．(1)对3S－4Sn＋Tn＝0，令n＝1，2得到方程，解得a1，a2的值．(2)3S－4Sn＋Tn＝0中，对n赋值作差，消去Tn，再对n赋值作差，消去Sn，从而得到an＋1＝－an，证得数列{an}是等比数列．(3)先求出an＝n－1，由(λ－nan)(λ－nan＋1)<0恒成立，确定λ＝0适合，再运用反证法证明λ>0和λ<0不成立．规范解答(1)因为3S－4Sn＋Tn＝0，n∈N*.令n＝1，得3a－4a1

4、＋a＝0，因为a1≠0，所以a1＝1.令n＝2，得3(1＋a2)2－4(1＋a2)＋(1＋a)＝0，即2a＋a2＝0，因为a2≠0，所以a2＝－.(3分)(2)解法1　因为3S－4Sn＋Tn＝0，　①所以3S－4Sn＋1＋Tn＋1＝0，　②②－①得，3(Sn＋1＋Sn)an＋1－4an＋1＋a＝0，因为an＋1≠0，所以3(Sn＋1＋Sn)－4＋an＋1＝0，　③(5分)所以3(Sn＋Sn－1)－4＋an＝0(n≥2)，　④当n≥2时，③－④得，3(an＋1＋an)＋an＋1－an＝0，即an＋1＝－an，因为an≠0，所以＝－.又因(1)知，a1＝1，a2＝－，所以＝－，所以数列{an}

5、是以1为首项，－为公比的等比数列．(8分)解法2　因为3S－4Sn＋Tn＝0，①所以3S－4Sn＋1＋Tn＋1＝0，②②－①得，3(Sn＋1＋Sn)an＋1－4an＋1＋a＝0，因为an＋1≠0，所以3(Sn＋1＋Sn)－4＋an＋1＝0，所以3(Sn＋1＋Sn)－4＋(Sn＋1－Sn)＝0，(5分)整理为Sn＋1－＝－，又S1－＝a1－＝，所以Sn－＝·，得Sn＝·＋，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝，而a1＝1也适合此式，所以an＝，所以＝－所以数列{an}是以－为公比的等比数列．(8分)(3)解法1　由(2)知，an＝.因为对任意的n∈N*，(λ－nan)(λ－nan＋1)<0恒成

6、立，所以λ的值介于n和n之间．因为n·n<0对任意的n∈N*恒成立，所以λ＝0适合．(10分)若λ>0，当n为奇数时，n<λ0不符．(13分)若λ<0，当n为奇数时，n<λ

7、或偶数项的关系式，体现减元的思想，考生要能够多观察，多思考，养成良好的逻辑推理的习惯.例3、例3、(2015苏州期末）已知数列{an}中a1＝1，an＋1＝(1)是否存在实数λ，使得数列{a2n－λ}是等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．(2)若Sn是数列{an}的前n项和，求满足Sn>0的所有正整数n.　规范解答(1)由已知，得a2(n＋1)＝a2n＋1＋(2n＋1)＝[a2n－3(2n)]＋2n＋1＝