2020年高考数学二轮微专题突专题32 数列中构造函数研究单调性问题(原卷版).docx

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1、专题32数列中构造函数研究单调性问题一、题型选讲题型一、转化为关于一元二次函数或者运用基本不等式例1、数列的前项和为,若,则数列的最小项为()例2、(2017扬州期末)在正项等比数列{an}中,若a4+a3-2a2-2a1=6,则a5+a6的最小值为________.例3、(2018无锡期末)已知等比数列{an}满足a2a5=2a3,且a4,,2a7成等差数列,则a1·a2·…·an的最大值为________.题型二、运用作差或者作商解决数列的单调性问题(1)用作差比较法,根据an+1-an的符号判断数列{an}是

2、递增数列、递减数列或是常数列.(2)用作商比较法,根据(an>0或an<0)与1的大小关系进行判断.例4、(2019镇江期末)设数列{an}是各项均为正数的等比数列,a1=2,a2a4=64.数列{bn}满足:对任意的正整数n,都有a1b1+a2b2+…+anbn=(n-1)·2n+1+2.(1)分别求数列{an}与{bn}的通项公式.(2)若不等式λ…<对一切正整数n都成立,求实数λ的取值范围.(3)已知k∈N*,对于数列{bn},若在bk与bk+1之间插入ak个2,得到一个新数列{cn}.设数列{cn}的前m项

3、的和为Tm,试问:是否存在正整数m,使得Tm=2019?如果存在,求出m的值;如果不存在,请说明理由.例5、(2019苏州三市、苏北四市二调)已知数列{an}的各项均不为零.设数列{an}的前n项和为Sn,数列{a}的前n项和为Tn,且3S-4Sn+Tn=0,n∈N*.(1)求a1,a2的值;(2)证明:数列{an}是等比数列;(3)若(λ-nan)(λ-nan+1)<0对任意的n∈N*恒成立,求实数λ的所有值.例6、(2018苏州期末)已知各项是正数的数列{an}的前n项和为Sn.(1)若Sn+Sn-1=(n∈N

4、*,n≥2),且a1=2.①求数列{an}的通项公式;②若Sn≤λ·2n+1对任意n∈N*恒成立,求实数λ的取值范围.(2)已知数列{an}是公比为q(q>0,q≠1)的等比数列,且数列{an}的前n项积为10Tn.若存在正整数k,对任意n∈N*,使得为定值,求首项a1的值.例7、(2018南京、盐城一模)设数列{an}满足a=an+1an-1+λ(a2-a1)2,其中n≥2,且n∈N,λ为常数.(1)若{an}是等差数列,且公差d≠0,求λ的值;(2)若a1=1,a2=2,a3=4,且存在r∈[3,7],使得m·

5、an≥n-r对任意的n∈N*都成立,求m的最小值;(3)若λ≠0,且数列{an}不是常数列,如果存在正整数T,使得an+T=an对任意的n∈N*均成立.求所有满足条件的数列{an}中T的最小值.例8、(2017扬州期末)已知数列{an}与{bn}的前n项和分别为An和Bn,且对任意n∈N*,an+1-an=2(bn+1-bn)恒成立.(1)若An=n2,b1=2,求Bn;(2)若对任意n∈N*,都有an=Bn及+++…+<成立,求正实数b1的取值范围;(3)若a1=2,bn=2n,是否存在两个互不相等的整数s,t(

6、1<s<t),使,,成等差数列?若存在,求出s,t的值;若不存在,请说明理由.二、达标训练1、.已知数列中,,,,若数列单调递增,则实数的取值范围为__________.2、(2019南京、盐城一模)已知等比数列{an}为单调递增数列,设其前n项和为Sn,若a2=2,S3=7,则a5的值为________.3、(2016苏州期末)已知{an}是等差数列,a5=15,a10=-10,记数列{an}的第n项到第n+5项的和为Tn,则

7、Tn

8、取得最小值时n的值为________.4、(2017南京三模)若等比数列{an}

9、的各项均为正数,且a3-a1=2,则a5的最小值为▲.5、(2019南京、盐城一模)若数列{an}满足a1=0,a4n-1-a4n-2=a4n-2-a4n-3=3,==,其中n∈N*,且对任意n∈N*都有an

10、数列{an}各项均为正数,Sn是数列{an}的前n项的和,对任意的n∈N*,都有2Sn=3a+an-2.数列{bn}各项都是正整数,b1=1,b2=4,且数列ab1,ab2,ab3,…,abn是等比数列.(1)证明:数列{an}是等差数列;(2)求数列{bn}的通项公式bn;(3)求满足<的最小正整数n.8、(2018镇江期末)已知数列{an}的前n项和为S

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