2020年高考数学二轮微专题突专题23 立体几何中的计算(解析版).docx

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1、专题23立体几何中的计算一、例题选讲题型一、简单几何体的体积与表面积简单的几何体一般指简单的柱、锥和球，在历年的高考考查中涉及到求体积或者与面积有关的问题，解决此类问题的关键是要把几何体的高、斜高等基本量求出然后运用体积或者面积公式求出。例1、（2019江苏卷）如图，长方体的体积是120，E为的中点，则三棱锥E-BCD的体积是_____.【答案】10.【解析】因为长方体的体积为120，所以，因为为的中点，所以，由长方体的性质知底面，所以是三棱锥的底面上的高，所以三棱锥的体积.例2、(2019镇江期末）已知一个圆锥的底面积为

2、π，侧面积为2π，则该圆锥的体积为________．【答案】　11/11【解析】先求出圆锥的底面半径和高．设圆锥的底面半径、高、母线长分别为r，h，l，则解得所以h＝.圆锥的体积V＝Sh＝.例3、（2017江苏卷）如图，圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切．记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则的值是________．【答案】　【解析】设球的半径为R，则圆柱的底面半径为R，高为h＝2R.因为V1＝πR2h＝2πR3，V2＝，所以＝.【】因为所求的是两体积的比值，所以不妨设R＝1，不会影响结

3、果题型二、运用等积法求几何体的体积或者高若一个几何体的高或者底面积不好求时，要考虑运用等积法求体积，要换顶点，以便高以及底面积都可以求出，有时几何体往往会涉及到换体，但要主要体之间的关系。运用等积法也可以求几何体的高。例4、(2019南京、盐城一模）如图，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，PA＝4，AC＝，BC＝1，E，F分别为AB，PC的中点，则三棱锥BEFC的体积为________．【答案】.　【解析】：VBEFC＝VFBEC＝VPBEC＝·(·S△BEC·PA)＝×××4＝.11/11例5、（2016无锡期末）如图，在圆

4、锥VO中，O为底面圆心，半径OA⊥OB，且OA＝VO＝1，则O到平面VAB的距离为________．【答案】　【解析】思路分析在立体几何求点到平面的距离问题中，往往有两种途径：(1)利用等体积法，这种方法一般不需要作出高线；(2)利用面面垂直的性质作出高线，再进行计算．解法1因为VO⊥平面AOB，OA⊂平面AOB，所以VO⊥OA，同理VO⊥OB，又因为OA⊥OB，OA＝VO＝OB＝1，所以VA＝VB＝AB＝，所以S△VAB＝VA×ABsin60°＝.设O到平面VAB的距离为h，由VVAOB＝VOVAB，得S△AOB×VO＝

5、S△VAB×h，得OA×OB×VO＝h，解得h＝.解法2取AB中点M，连结VM，过点O作OH⊥VM于H.因为OA＝OB，M是AB中点，所以OM⊥AB，因为VO⊥平面AOB，AB⊂平面AOB，所以VO⊥AB，又因为OM⊥AB，VO∩OM＝O，所以AB⊥平面VOM，又因为AB⊂平面VAB，所以面VAB⊥平面VOM，又因为OH⊥VM，OH⊂平面VOM，平面VAB∩平面VOM＝VH，所以OH⊥平面VAB，所以OH为点O到平面VAB的距离，且OH＝＝.题型三、几何体的展开与折叠问题解决这类问题一定要把握住几何体折叠前和折叠后的不变的

6、量，以及前后之间量的关系。例6、(2018南京、盐城、连云港二模）在边长为4的正方形ABCD内剪去四个全等的等腰三角形(如图1中阴影部分)，折叠成底面边长为的正四棱锥SEFGH(如图2)，则正四棱锥SEFGH的体积为________．（图1）　　　　（图2）【答案】　11/11【解析】连结EG，HF，交点为O，正方形EFGH的对角线EG＝2，EO＝1，则点E到线段AB的距离为1，EB＝＝.SO＝＝＝2，故正四棱锥SEFGH的体积为×()2×2＝.例7、一块边长为10cm的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个

7、全等的等腰三角形作侧面，以它们的公共顶点P为顶点，加工成一个如图所示的正四棱锥形容器．当x＝6cm时，该容器的容积为________cm3．【答案】48【解析】：由题意知，这个正四棱锥形容器的底面是以6cm为边长的正方形，而侧面高为5cm，则正四棱锥的高为＝4cm，所以所求容积为×62×4＝48（cm3）．例8、如图，直三棱柱ABC-A1B1C1中，AB＝1，BC＝2，AC＝，AA1＝3，M为线段B1B上的一动点，则当AM＋MC1最小时，△AMC1的面积为________．【答案】.【解析】：如图，沿BB1将侧面ABB1A

8、1与BCC1B1展开成平面图，连结AC1交BB1于点M，11/11则AC1为AM＋MC1的最小值，此时BM＝AB＝1，B1M＝B1C1＝2，从而△AMC1的三条边长分别为AM＝，C1M＝2，AC1＝，由余弦定理知∠AMC1＝120°，故△AMC1的面积为S＝×AM×C1Msin120°，即S＝××2×＝