专题6.5 数列综合问题(练)-2019年高考数学一轮复习讲练测(江苏版) Word版含解析.doc

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1、1.若无穷数列满足:恒等于常数,则称具有局部等差数列.(1)若具有局部等差数列,且,求;(2)若无穷数列是等差数列,无穷数列是公比为正数的等比数列,,,,判断是否具有局部等差数列,并说明理由;(3)设既具有局部等差数列,又具有局部等差数列,求证:具有局部等差数列.2.已知数列是首项为、公比为的等比数列,数列满足,.(1)求数列的通项公式;(2)若数列前项和为,求所有满足等式成立的正整数;(3)若且对任意都有,求实数的取值范围.【解析】(1)依题意,由可得当时,当时,,因此(2)由题意得,由得,化简得,由得;因为,所以,当时,由式得,无正整数解;当时,由式得,无正整数解;当时,由式得

2、,所以.综上可知,满足条件的正整数3.设等比数列的各项均为正数,前项和为,且.(1)求;(2)是否存在常数,使得数列是等差数列?若存在,求的值;若不存在,请说明理由.【解析】(1)设等比数列的公比为,因为各项均为正数,所以.由得,解得已舍去.所以.(2)设,由(1)知.若数列是等差数列,则成等差数列,于是,即,整理得,解得或.当时,,满足,所以是等差数列;当时,,则,所以,舍去.综上,存在唯一的常数满足题意.4.已知为正整数,数列满足,,设数列满足.(1)求证:数列为等比数列;(2)若数列是等差数列,求实数的值;(3)若数列是等差数列,前项和为,对任意的,均存在,使得成立,求满足条

3、件的所有整数的值.当=12时,,,,5.已知数列的前项和为,满足,且,正项数列满足,其前7项和为42.(1)求数列和的通项公式;(2)令,数列的前项和为,若对任意正整数,都有,求实数的取值范围;(3)将数列的项按照“当为奇数时,放在前面;当为偶数时,放在前面”的要求进行排列,得到一个新的数列:,求这个新数列的前项和.【答案】(1);(2);(3),【解析】(1)∵,∴数列是首项为1,公差为的等差数列,∴,即,∴,又,∴.∵,∴,又,∴,∴数列是等差数∴,∵对任意正整数,都有恒成立,∴.(3)数列的前项和,数列的前项和,①当时,;②当时,,特别地,当时,也符合上式;③当时,.综上:,

4、.6.已知数列的首项,且满足,其中.设数列的前项和分别为.(Ⅰ)若不等式对一切恒成立,求;(Ⅱ)若常数且对任意的,恒有,求的值;(Ⅲ)在(2)的条件下且同时满足以下两个条件:(ⅰ)若存在唯一正整数的值满足;(ⅱ)恒成立.试问:是否存在正整数,使得,若存在,求的值;若不存在,请说明理由.【解析】故,而,因为,所以,令,则所以存在正整数,使得,此时,或者.7.在数列中,已知为常数.(Ⅰ)证明:成等差数列;(Ⅱ)设,求数列的前项和;(Ⅲ)当时,数列中是否存在三项成等比数列,且也成等比数列?若存在,求出的值;若不存在,说明理由.【解析】(Ⅰ)因为,所以,同理,,,又因为,,所以,故,,成等

5、差数列.(Ⅱ)由,得,令,则,,所以是以0为首项,公差为的等差数列,则,即,因为成等比数列,所以,所以,化简得,联立,得.这与题设矛盾.故不存在三项成等比数列,且也成等比数列.Sn8.已知数列{an}的前n项和为Sn,数列{bn},{cn}满足(n+1)bn=an+1-n,(n+2)cn=an+1+an+2Sn2-n,其中n∈N*.(1)若数列{an}是公差为2的等差数列,求数列{cn}的通项公式;(2)若存在实数λ,使得对一切n∈N*,有bn≤λ≤cn,求证:数列{an}是等差数列.解:(1)因为{an}是公差为2的等差数列,1因此cn=2(bn+bn+1).1因为对一切n∈N*

6、,有bn≤λ≤cn,所以λ≤cn=2(bn+bn+1)≤λ,故bn=λ,cn=λ.Sn所以(n+1)λ=an+1-n,①1Sn(n+2)λ=2(an+1+an+2)-n,②1②-①,得2(an+2-an+1)=λ,即an+2-an+1=2λ.故an+1-an=2λ(n≥2).S1又2λ=a2-1=a2-a1,则an+1-an=2λ(n≥1).所以数列{an}是等差数列.9.设数列的前n项和为Sn,且满足:①;②,其中且.(1)求p的值;(2)数列能否是等比数列?请说明理由;(3)求证:当r2时,数列是等差数列.解:(1)n1时,,因为,所以,又,所以p1.(2)不是等比数列.理由如

7、下:……10.已知正项数列的前项和为,且,.(1)求数列的通项公式;(2)若对于,都有成立,求实数取值范围;(3)当时,将数列中的部分项按原来的顺序构成数列,且,证明:存在无数个满足条件的无穷等比数列.【解析】(1)当时,,故;当时,,所以,即,又,所以,所以,,,故(2)当为奇数时,,由得,恒成立,令,则,所以.当为偶数时,,由得,恒成立,所以.又,所以实数的取值范围是.(3)当时,若为奇数,则,所以.解法1:令等比数列的公比,则.设,因为,所以,,因为为正整数,

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