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时间：2020-07-06
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1、微分几何补充题1.求曲线的切线与直线所成的夹角.解，直线的方向向量为，设与的夹角为，则有，所以，2.求曲面：上的脐点.解，，，，，，，，，由得，解得，从而，所以原点是曲面唯一的脐点.3.求正螺面（）上点沿方向的法曲率.解：，所以在点沿方向的法曲率是，将代入上式，4.求正螺面（）上的双曲点、椭圆点和抛物点.解由第3题，知，得，所以正螺面上全是双曲点，无椭圆点和抛物点.5.若一曲面与平面相切于一条曲线,证明：此曲线是曲面的渐近曲线又是曲率线,并证明沿此曲线上的点都是抛物点.证明1）曲面与平面相切于一条曲线此曲线在这个平面上
2、，且这个平面是曲面在此曲线上每一点的切平面.是渐近曲线.2）又（）即又是单位向量所以，是主方向就是曲率线3）渐近方向又是主方向，上的点都是抛物点.6.假定曲面被一族渐近曲线所覆盖，证明：这族渐近曲线的正交轨线的法曲率等于曲面的平均曲率的两倍.证明：如图，设渐近方向与主方向的夹角为，则渐近曲线的正交轨线的切方向与主方向的夹角为，所以因此，
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