几何中的尺规作图法.doc

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1、第七讲　尺规作图　尺规作图的基本知识一、几何作图的含义和意义含义：给定条件，设法作具备这些条件的图形，能据条件作出图形或作不出图形，故几何作图是存在问题的证明。意义：建立学生具体几何观念的重要手段，是克服死记硬背定理的好办法；学以致用；为制图学提供理论基础；培养逻辑思维能力。二、作图公法（1）通过两个已知点可作一直线；（2）已知圆心和半径作圆；（3）若两已知直线相交，或一已知直线和一已知圆（或圆弧）相交，或两已知圆相交，则可作出其交点。上面三条叫作图公法。若一个图不能有限次根据作图公理作出图形，则叫几何作图（或尺规作图）不能问题。三、作图成法我们把根据作图公法或一些已经解

2、决的作图题而完成的作图，叫做作图成法。它可以在以后的作图中直接应用。下面列举一些：（1）任意延长已知线段。（2）在已知射线上自端点起截一线段等于已知线段。（3）以已知射线为一边，在指定一侧作角等于已知角。（4）已知三边，或两边及夹角，或两角及夹边作三角形。（5）已知一直角边和斜边，作直角三角形。（6）作已知线段的中点。（7）作已知线段的垂直平分线。（8）作已知角的平分线。（9）过已知直线上或直线外一已知点，作此直线的垂线。（10）过已知直线外已知点，作此直线的平行线。（11）已知边长作正方形。（12）以定线段为弦，已知角为圆周角，作弓形弧。（13）作已知三角形的外接圆，内

3、切圆，旁切圆。（14）过圆上或圆外一点作圆的切线。（15）作两已知圆的内、外公切线。（16）作已知圆的内接（外切）正三角形、正方形，或正六边形。（17）作一线段，使之等于两已知线段的和或差。（18）作一线段，使之等于已知线段的n倍或n等分。（19）内分或外分一已知线段，它们的比等于已知比。（20）作已知三线段的第四比例项。（21）作已知两线段的比例中项。（22）已知线段作一线段为，或作一线段为。四、解作图题的步骤①　分析：遇到不是一目了然的作图题，常假定符合条件的图已做出，研究已知件和求作件间的关系，从而得到作图的线索。这个过程就是分析，是解题重要的一步。②作法：利用已知

4、作图题时，只需说明清楚，不必一一累述。③证明：证所作图确实具有所设条件。④讨论：作图题解的有无，多与寡，定与不定，决定于已知条件的大小、位置及相互关系。　尺规作图法举例一、交轨法一个作图题的解决，往往归结到某一点的确定，而一点的确定，须用两个条件和，如果能求出合于条件的轨迹和合于条件的轨迹，那么和的交点同时满足和，这种由轨迹相交以解作图题的方法，称为交轨法。　　决定某一点的轨迹有若干个，选择熟知的和简易的。例1　在已知弧上求一点M，使弦的比为。分析：设点M已求到，满足，则点M既在弧上，又在一个阿氏圆上，内分、外分AB于C、D，使，阿氏圆是以CD为直径的圆。作法：如分析过程

5、定出C、D两点，以CD为直径作圆，它与相交于所求点M。图形略。证明：略（阿氏圆的性质知显然）讨论：本题恒有一解。（C在圆内而D在圆外，两圆相交于两点，但其中一点必在阿氏圆直径CD的另一侧，不在上）。解法二：由角平分线性质知，∠AMB的平分线MN必过C点，故不必作阿氏圆，只要定出C和N即可，而N为的中点，作AB的中垂线即可。如下图所示。例2　已知△ABC的底边，顶角A以及余二边的平方和，求作这三角形。分析：如图，设△ABC已作成，，且。任作后，A的一个轨迹是以BC为弦而内接角等于的圆弧。若以M表示BC的中点，则　　（斯特瓦尔特定理）即A点的另一轨迹是以M为圆心，半径为的圆周

6、，因而A点定。作法：作线段，在BC上作内接角等于的圆弧；作；圆与圆弧的交点为所求的A点。证明：略。讨论：显然，否则无意义；若A为锐角，当时，与圆弧有两交点A与，但，只算作一解；否则无解。若A为钝角，当时有一解，否则无解。若A为直角，a=k时显然有无穷多解，当a≠k时无解。二、三角形奠基法作图题中，往往可先作图形的一个三角形，从而奠定全部图形的基础，进而作出其它图形，这种三角形称为基础三角形。该方法称为三角形奠基法。例3　已知的三中线的长度，求作该三角形。分析：设已作出，为重心，图中无奠基的三角形。延长到,使，则三边已知，各为中线长的。作法：作，使，，，作的中点，并延长到使

7、。延长至使，则即所求者。证明：由作法，是的中点，因而是的中线。由于，是的重心，并且　，以、表、的中点，由于是重心，则，，所以合于条件。讨论：本题有无解，取决于是否存在，存在的条件是：，，.故所给三中线能构成三角形时，有一解，否则无解。例4　已知△ABC的，求作该三角形。分析：△ABC若已作成，高，角平分线，中线.和都可作出，取为基础三角形，设AT交外接圆于P，则P为的中点，P可由AT及MH在M点的垂线相交决定。然后定圆心O，O在PM上，也在AP的中垂线上，故外接圆可作出，从而可定出B、C。作法：作直角，使，，.在射线HM上作T