对于尺规作图法将线段三等分的研究.doc

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1、对于尺规作图法将线段三等分的研究1.问题背景用尺规作图法将线段三等分的研究：尺规作图法是指只能使用圆规与无刻度直尺，并且只准许使用有限次，来解决平面几何作图问题的方法。我们知道并已经能用尺规作图法将一条给定线段进行（n为正整数）等分。那么如何解决以下问题呢？用尺规作图法将一条给定线段AB三等分，写出作图过程，保留作图痕迹。看谁想出的方法更多。2.思路分析由于尺规作图法的要求，在将线段三等分的过程中，应该尽最大可能利用特殊角度、特殊三角形、三角形全等、三角形相似、平行线、中线、垂线及其性质。通过这些性质使得线段之间出

2、现2倍、3倍、1/2倍、1/3倍的关系，从而推进线段AB的三等分。3.问题的解决方法3.1利用平行线分线段成比例定理作图1.过给定线段AB的任意一端端点作射线（例如射线BO）；2.利用圆规依次在射线BO上截取三段等长线BM、MN、NL；1.连接LA过M、N做平行于LA的直线交AB于C、D；则点C、点D即是给定线段AB的三段分点。3.2佘氏尺规法1.已知给定线段AB，分别以A、B为圆心，AB长度为半径作圆弧，交点分别为C、D；2.连接C、D，交AB于E点；3.分别以点A、点B、点E为圆心，AE长为半径画弧，三弧两两相

3、交于点F、点G；4.连接DF与DG，直线DF、直线DG分别与直线AB相交于点P和点N则P、N即为线段AB的三段分点。3.3利用三角形重心性质作图1.已知给定直线AB，以A为圆心，半径任意做圆弧；过点A作直线，与圆弧相交于点C、D；2.连接点C、B、D，得到三角形CBD（A为CD的中点）；3.尺规作图找出线段DB的中点E，连接CE，交线段AB于F4.同样方法找出线段BF的中点G则点F、G即为线段AB的三等分点。3.4利用特殊角度作图1.已知给定线段AB，过A点利用三角板作出射线AO与直线AB的夹角呈60度；作∠OAB

4、的角平分线AC；2.过B点作线段AB的垂线交AC于点D，则有；3.作∠ADB的角平分线，与线段AB交于点E，则有即AB=3EB，E为线段AB的三等分点。3.5利用三角形全等作图1.已知给定线段AB，以AB为平行四边形的对角线作出平行四边形ACBD2.分别在边AC、DB上找中点E、F3.分别连接ED、CF，交线段AB于G、H即G、H点为线段AB的三等分点。3.6利用三角形相似作图1.已知线段AB，分别过点A、点B作一组不平行于AB的平行线i、j；2.在j上过B点取定长的线段BD，在i上过A点截取2BD长的线段AC；连

5、接CD交AB于点E即E为线段AB的三等分点。4.对于问题的进一步研究与说明对于尺规作图进行线段的等分问题，主要依靠的基础有：作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线；已知一角、一边作等腰三角形；已知两角、一边作三角形；已知一角、两边作三角形。在解决线段三等分的过程中，需要充分利用重心、平行线、三角形相似、特殊角度等一系列熟知的性质、公理。通过这些性质与公理，在作图过程中尽可能构建线段之间的比例关系。比如通过三角形相似得到线段的比例关系，进而向线段

6、的三等分点靠近。