正余弦型函数图像性质.pdf

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1、正余弦型函数的图像性质正弦型函数yAsin(x)B的图像与性质是三角函数的绝对重要内容，在考查三角函数性质时，我们总习惯进行三角恒等变换（如降幂公式，幅角公式），将已知函数转化为yAsin(x)B形式，因此这里专题介绍正弦型函数yAsin(x)B的图像与性质的求法：知识点睛一：正弦型函数yAsin(x)B(A0,0)的图像方法一：先平移变换后伸缩变换平移变换：将ysinx图像向左(0)或向右(0)平移个单位，得到ysin(x)的图像；

2、伸缩变换：纵坐标不变，将ysin(x)图像上所有点的横坐标缩短(1)或伸长(01)到原来12的倍，得到ysin(x)的图像，此时函数周期为T(注意：伸缩变换只会改变x的系数)振幅变换：横坐标不变，将ysin(x)图像上所有点的纵坐标伸长(A1)或缩短(0A1)到原来的A倍，得到yAsin(x)的图像，此时函数的值域为[A,A]方法二：先伸缩变换后平移变换1伸缩变换：纵坐标不变，将ysinx图像上所有点的横坐标缩短(1)或伸长(01

3、)到原来的倍，2所得函数ysinx的图像，此时函数的周期为T；平移变换：将ysinx图像向左(0)或向右(0)平移个单位，得到ysin(x)的图像(注意：左右平移变换时要看发生在自变量x上的变化)振幅变换：同上2【例1】怎么由函数ysin(x)的图像变换到函数ysin(2x)的图像33解析：方法一：先平移变换后伸缩变换先将函数ysin(x)的图像向左平移个单位，再将所得的图像上所有点的横坐标变到原来3312的倍(纵坐标不变)，得到函数ys

4、in(2x)的图像23方法二：先伸缩变换后平移变换1先将函数ysin(x)的图像上所有点的横坐标变为原来的倍(纵坐标不变)，再将所得的图322象向左平移个单位，得到函数ysin(2x)的图像63【例2】要得到ysin(2x)的图像，只需将函数ysin(2x)的图像()36A．向左平移单位B．向左平移单位C．向右平移单位D．向右平移单位4242解析：ysin(2x)sin(2x)sin[2(x)]，故选C32646知识点睛二：正弦型函数y

5、Asin(x)B(A0,0)的性质总结最值：当sin(x)1时，y取到最大值AB；当sin(x)1时，y取到最小值AB单调性：根据复合函数单调性的“同增异减”原则，不难理解函数yAsin(x)的单调性求法令2kx2k可求得函数yAsin(x)B的单调增区间；223令2kx2k可求得函数yAsin(x)B的单调减区间222周期：最小正周期是T对称性：函数yAsin(x)B的

6、图像仍然是波形图，它有无数条对称轴和无数个对称中心令sin(x0)1，可求得函数的所有对称轴xx0；令sin(x0)0，可求得函数的所有对称中心(x0,B)(注意：与函数yAsin(x)B有关的奇偶性问题可利用对称性结论解决)3【例3】已知函数f(x)sin(2x)，xR62(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求函数f(x)的最小值，并求函数f(x)取得最小值时的x的集合；(3)求函数f(x)在区间[,]上的最小值；44(4)求函数f(x)的单调增

7、区间；(5)求函数f(x)在区间[,]上的单调增区间；44(6)求函数f(x)的所有对称轴和对称中心；(7)函数f(x)的图像可以由函数ysin2x，xR的图像经过怎样的变换得到；解析：通过这一题就能基本掌握三角函数性质问题的解法，同学要注意第（3）（5）小题的做法，做题不在多，关键要做出效率2(1)函数f(x)的最小正周期T231(2)当且仅当2x2k，即xk，kZ时，函数f(x)取到最小值162322此时x的集合为{x

8、xk,kZ}（要注

9、意写成集合形式）3233(3)∵x[,]，∴2x[,]，∴当2x时，函数f(x)取到最小值44633632(4)令2k2x2k(kZ)，解得kxk，kZ26236∴函数f(x)的单调增区间为[k,k]，kZ362(5)∵x[,]，∴2x[,]，令2x[,]，解得x[,]4463363246∴函数f(x)在区间[,]上的单调增区间为[,]4446