《工程电磁场原理》课程讲稿(有限元).doc

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1、二维静态电磁场的有限元方法(FEM)简介静电场：特定条件才有解析解稳恒磁场：特定条件才有解析解，不适合工程应用。第一节加权余量法(WeightedResidualMethod)-伽辽金法（GalerikinMehtod）一加权余量法(WeightedResidualMethod)有一边值问题方程：算符，对函数u的运算，f是已知函数，求解u。为了求解u，有一系列线性无关函数u1,u2,…ui…，也叫基（序列）函数。取前m项近似求u-即u的线性组合。（当m®¥,）则余量差（误差）：精确解：R=0;但是，如果在误差允许范围内，满足需要即可。满足强制余量的加权（w

2、eight）积分为零:Wi叫权函数序列，亦线性无关。二伽辽金法（GalerikinMehtod）--最常用方法若取权函数与基函数相等，这种方法叫做伽辽金方程（GalerikinMehtod）加权余量方法。第二节有限元方法的基本思想1．有限元方法的基本思想首先，将一个闭合场域进行有限元剖分，也就是把一个闭合场域划分为N个微小的有限单元（简称有限元或单元），即其次，在每个单元上构造插值函数逼近真解，将待求函数用各单元上的表示为在单元上，进一步地将用插值函数和节点待求函数值表示为其中，i为单元上节点序号，r为单元的总的节点数。第三，求各个单元上的加权余量方程，并

3、将各个单元上的加权余量方程相加获得代数方程组（或将每个单元插值合成的总插值函数代泛定方程的等价泛函并求极值获得代数方程组）。第四，求解代数方程组即得场域中的各节点函数值，从而完成函数的数值求解。进一步求解其他相关问题。下面，对二维静态电磁场的有限元方法进行介绍。第三节单元剖分与插值函数1．单元剖分在单元剖分过程中，一般应该遵守如下几条规则：（1）场域是一个封闭区域（对于开区域问题，需特殊处理）；（2）单元不能跨越边界或介质交界；（3）单元上的点不能落在相邻单元的边或面上，只能与相邻单元的点重合；（4）各个单元不能共交；（5）全部单元应充满整个场域。图1电机

4、的单元剖分图。图1电机定子与转子结构2．单纯形单元（1）一维空间设是一维空间待求的解函数，和分别为一维问题中场域的边界点。首先，将场域剖分为如图2所示的N个线段形的单元（e=1,2,…,N），即这些线段形单元的长短可以不同，在一维空间中，最简单的单元形状是线段，因此线段又被称为一维空间中的单纯形。在每个单元上构造插值函数，并用单元两个端点和上的节点函数插值和来逼近单元上的解，即在上图2一维场域的单元剖分和线性逼近其次，将所有单元上的近似解合成，构成整个场域的近似解，即在上可以看出，在有限元方法中一个重要的问题就是插值函数的选取。通常将插值函数选为x的函数，

5、即在上其中称为单元上节点i的插值函数。因此在单元上近似解可以表示为在上显然，在各单元之间的节点上应该是连续的。从上式可以推断出，插值函数应该具有下面的特性，当时，，，时，，，（2）二维空间设是二维问题中场域上的解函数，场域的边界为。首先，将场域剖分为如图3所示的N个三角形的单元（e=1,2,…,N），即图3二维场域的单元剖分和线性逼近这些单元的形状可以是多样的，既可以是三角形也可以是四边形或其他形状等。在二维空间中，最简单的单元形状是三角形，因此三角形又被称为二维空间中的单纯形（三维空间的单纯形为四面体）。本讲义只讨论单元为三角形的情况。将三角形单元上的三

6、个节点函数值选为待求变量，则在单元上解函数可以被三个节点函数插值表示为在上其中i,j,k分别单元上的三个节点编号，称为三角形单元上节点i的插值函数。其次，将各个单元上的近似解合成在一起，即得场域上的近似解函数为在上显然，和在各单元之间的节点上应该是连续的。如以标示三角形单元上节点的坐标，由单元上的近似式，推得当时，，，，当时，，，，当时，，，，而在单元分析时，一个关键的问题是插值函数的选取及相应的计算公式。下面，分节进行详细讨论。3．插值函数以上讨论中引入的插值函数又常被称为形状函数，即称为单元上节点的形状函数。由以上讨论知，它具有如下性质不妨设，即，为单

7、元上的节点总数，则有（归一化特性）（1）一维空间在一维空间上，一个线段构成一维空间的单纯形。设单元落在区间，如图4所示。图4一维形状函数显然，有写成矩阵形式有由此，可以求出形状函数和。易知显然，上述行列式就是线段单元的长度，即进一步，得显然，形状函数就是与相应节点线段的长度之比。当时，，，，当时，，，，在有限元方法中，常常用到如下形状函数的积分运算，即为计算该积分方便，考虑如下问题。由于，且，这就形成了与的线性变换。而可以被线性表示，即。显然对于的积分不如对的积分具有普遍性，因为后者的积分的上下限分别为0和1。其微元变换为当时，；当时，。因此，有为计算上式

8、积分，讨论如下典型积分所以利用上述公式，得（2）二维空间在二维空间