巧用反比例函数的对称性解题.doc

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1、巧用反比例函数的对称性反比例函数图象的对称性在解题时常荐会被忽略，但是事实上它的作用无处不在，而且它让我们感受到数形结合是多么的奇妙．一、求代数式的值例1如果一个正比例函数与一个反比例函数的图象交于A，两点，那么的值为方法一设正比例函数的解析式是，与反比例函数联立方程，消去得到由韦达定理，可知又∴=24方法二反比例函数和正比例函数都关于原点成中心对称图形，所以，且，∴这两种解题方法中明显是第二种方法比较简单、快捷、明了，可见反比例函数图形的对称性不可忽视．反比例函数的对称有两种．一种是关于原点的中心对称，另一种是

2、关于直线的轴对称．其实在解题过程中恰当地运用这两种对称性会快捷得多，下面再看几个例子来体验一下．二、求比例系数例2如图1，已知直线分别与轴轴交于A，B两点，与双曲线交于E，F两点，若AB=2EF，则的值是方法一将直线与反比例函数联立方程，得到由韦达定理，可知又EF=AB==得解得方法二由图形的对称性可知，反比例函数和一次函数都关于直线对称，又AB=2EF，故有BF=FM=ME=AE．而A(2，0)，B(0，2)，所以F，易得．三、图形面积问题例3如图2，过点O作直线与双曲线交于A，B两点，过点B作BC⊥轴于点c，

3、作BD⊥y轴于点D．在轴，y轴上分别取点E，F，使点A，E，F在同一条直线上，且AE=AF设图中矩形OCBD的面积为，△EOF。的面积为，则，的数量关系是解析设A(m，一)，过点O的直线与双曲线交于A，B两点，则A，B两点关于原点对称，则B(一m，n)．矩形OCBD中，易得OD=，OC=m，则=mn．在Rt△EOF中，AE=AF，故A为EF中点，OF=2，OE=2m，则=×OF×OE=2mn，故2=．例4如图3，反比例函数的图象与以原点(0，0)为圆心的圆交于A，B两点，且A(1，)，图中阴影部分的面积等于．(结

4、果保留π)解析由于反比例函数和圆都是中心对称图形，故阴影部分面积可以看成是扇形AOB的面积．再利用图形关于直线对称，可知B(，1)，所以，∠BOX=30°，∠AOX=60°，易得．从以上例题的分析可观察到，对于反比例函数与一次函数或相结合的问题，利用轴对称比较方便；而当反比例函数与正比例函数y或圆相结合的时候，中心对称必然能发挥作用．总之，利用反比例函数的对称性，要先观察，再计算(数形结合)，这样会比直接代数运算方便很多．