稳态导热习题.doc

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1、稳态导习题1固体内的一维导热问题例1具有均匀内热源强度qv的无限大平壁处于稳态导热，其厚度为2δ，导热系数λ为常数，两侧壁温各自均布，分别为tw1和tw2，试求该平壁内的温度分布表达式。解:根据题意，x坐标的原点取平壁的中心线，描述该平壁内稳态导热现象的微分方程式为：（1）边界条件：x=-δ:t=tw1x=δ:t=tw2（2）移项后积分该微分方程式两次可得其通解（3）代入边界条件（4）（5）式（4）+式（5）（6）式（4）－式（5）（7）C1和C2代入微分方程式的通解式（3）后得到壁内的温度表达式（8）例2具有均匀内热源qv的无限大平壁处于稳态导热，其

2、厚度为2δ，导热系数λ为常数，两侧壁温各自均布且相同，均为tw，试求该平壁内的温度分布表达式。解:根据题意，导热微分方程式同上题。由于两侧壁温相同，是一种对称情况，因此只需求解一半的求解域即可，x坐标的原点取平壁的中心线。描述该平壁内稳态温度场的微分方程式为：（1）边界条件：x=0:x=δ:（2）该微分方程式的通解为（3）代入边界条件（4）（5）由式（4）(6)常数C1代入式（5）(7)常数C1和C2代入微分方程式的通解式（3）后得到壁内的温度表达式(8)例3一锥台如附图所示，顶面和底面温度各为均匀的tw1和tw2，侧面覆有保温材料。锥台的导热系数λ为

3、常数.该锥台横截面的直径随坐标x的变化规律为d=cx(c为常数)。设锥台内的导热为沿x方向的一维稳态导热。试求：a.通过锥台的热流量b.任意x处的热流密度解:锥台顶面和底面的温度已知，锥台内无内热源，侧面绝热，因此锥台内沿x方向的热流量Ф为常数，导热系数λ为常数,可用傅里叶定律直接积分求得。根据傅里叶定律（1）式（1）两侧分离变量并积分（2）由于热流量Φ和导热系数λ均为常数（3）（4）（5）因此（6）任意x处的热流密度（7）例4一无限大平壁处于稳态导热，其厚度为δ，导热系数λ可用线性函数关系式λ=λo(1+ct)近似,其中λo和c均为常数，两侧壁温各自

4、均布，分别为tw1和tw2，试求通过该平壁的热流密度q。解:无限大平壁两侧的温度已知，平壁内无内热源，因此沿与平壁垂直的x方向的热流量Φ或热流密度q为常数，可用傅里叶定律直接积分求得。根据傅里叶定律（1）式（1）两侧分离变量并积分（2）(3)因此（4）例5一导热系数为λ1=1.3W/(m·K)，厚2cm的无限大平壁，外覆盖一层导热系数λ2=0.35W/(m·K)的保温材料以减少热损失。当组合壁的内、外表面温度分别为1300℃与30℃时，欲使稳态导热时热损失不超过1830W/m2，保温材料的厚度应为多少？解：根据题意，各层壁内无内热源，因此沿壁厚方向的热

5、流密度为常数。因此，m例6已知一半径为r0的无限长圆柱体处于稳态导热，它的导热系数λ为常数，内热源强度qv为常数。圆柱体表面温度均布为tw，试求圆柱体内的温度分布。解:由于这是一种对于圆柱体中心线的对称情况，因此只需求解一半的求解域即可，r坐标的原点取圆柱体的中心线。当导热系数λ为常数时，描述该圆柱体内稳态温度场的微分方程式为（1）边界条件：r=0:r=r0:（2）移项式（1）（3）式（3）两侧积分一次（4）式（4）两侧除以r后再积分一次，可得该微分方程式的通解（5）代入边界条件当r→0时，lnr→∞，而圆柱体内的实际温度是有限的，因此取C1=0时，该

6、方程的解才符合实际情况。（6）(7)常数C1和C2代入微分方程式的通解式（5）得到圆柱体内的温度表达式(8)例7已知一直径为r0的无限长圆柱体处于稳态导热，它的导热系数λ为常数，内热源强度qv为常数。圆柱体表面浸在流体中。流体的温度为tf，液体和圆柱体间的对流换热系数为h。试求圆柱体内温度分布的表达式。解:根据题意，几何条件，物理条件都同上题，可以从上题的公式（5）开始。（5）和上题，取C1=0并代入圆柱体表面的边界条件。（6）上题中式（2）可写成(7)因此（8）常数C1和C2代入微分方程式的通解式（5）得到圆柱体内的温度表达式(9)讨论：例题2.6和

7、2.7的几何条件和物理条件相同，但因边界条件不同，因此解的形式完全不同。例8直径为3mm的金属丝的单位长度电阻为0.1Ω/m，导热系数λ=19W/(m·K)，浸在温度为30℃的液体中，液体和金属丝间的对流换热系数h=5.5kW/（m2·K）。当100A的电流通过该金属丝时，试求金属丝的中心温度。解：根据能量守恒，电流通过金属丝产生的热量应等于金属丝表面和液体之间的对流换热量，因此可列出能量守恒方程I2R=hA(tw-tf)（1）式（1）中代入具体数值1002×0.1=5500×π×0.003×1×(tw-30)（2）因此可算得金属丝表面温度为tw=49

8、.3℃（3）内热源强度MW/m3（4）由解析习题2.6中式（8）计算出金属丝中心(r=0)温度